在思考中学会思考

南二七

我们经常会困惑，为什么老师在解决问题时往往如行云流水一样自然，到了自己就变得磕磕绊绊、步履维艰;为什么身边的同学在解题时总会有一些奇思妙想、有如神助，而我们却总感力不从心.要说我们不会思考吧，数学中常用的思考方法我们也能头头是道说上若干，比如观察法、归纳法、逆向法、演绎法等等，可是一旦用它们“上阵杀敌”，却又觉得“无用武之地”，

实际上这是一种假象，一种心理作用，数学的思考确实有很多规律可循，基本方法也有很多，但是我们该怎样做才能牵住数学思考的“鼻子”，让这些规律、方法为己所用呢？今天就让我们一起在问题的思考中学习如何思考吧.

一、打铁先要自身硬

其实如何解题，如何思考，这项研究由来已久，目前最受推崇的做法是来自美国的数学家波利亚，其经典的做法是当我们拿到一个问题，常问自己以下几个问题：

“已知是什么？”

“要证（求）什么？”

“见过类似的问题吗？”

“可否将问题换一种说法？”

我们通常使用这些问题来启发自己寻找到解题的思路.可能有些同学也曾做过类似的尝试，不过效果却因人而异，因时而异.有时这样做成功了，有时却一筹莫展，有时别人成功了，能看到我们看不到的条件，想到我们想不到的方法.这时好时坏的，问题的关键在哪里呢？

实际上，要想取得好的效果，我们就必须在平时的练习中做好积累工作，尽可能地将问题归类，并将解决问题的方法用图式进行整理记忆，形成固定的基本模式，这就是我所指的“硬功夫”.当我们遇到一个问题时，如果我们已经有了解决问题的这个图式，就会有很大的成功率，那么这是一个怎样的图式？又怎样才能形成这样的图式？我们来看以下做法.

例1 求函数f（x）=x²-2ax-1在区间[1，3]上的最小值，

此题对同学们来说不算太难，这是因为我们已经在头脑中形成了一个图式，即依据对称轴与区间的位置关系，可分三种情况进行讨论求解，

解二次函数开口向上，对称轴x=a.

（l）当a≤1时，函数f（x）在区间[1，3]上为单调递增函数，所以f（x） min=f（1）=-2a;

（2）当a≥3时，函数f（x）在区间[1，3]上为单调递减函数，所以f（x）min=f（3）=8-6a;

（3）当l2.

变式1 求函数f（x）=x²-2x-1在区间[a，3a -2]上的最大值.

如果再用上述方法解決这一问题就会遇到大麻烦了，事实上，画出图形，发现图象开口向上，则区间端点谁离对称轴远谁的函数值兢大，因此要根据区间的中点分为两种情况讨论，

解二次函数开口向上，对称轴x =l.

可见我们一开始认识的图式并不是计算二次函数最值的图式，而只是计算开口向上的二次函数的最小值的一个图式.而且，上述问题还只是开口向上的一类，开口向下的二次函数又怎么办？这就需要我们将此问题归类，通过练习不断积累，最后形成如下的图式，从而利用这一图式来解决二次函数的最值问题，

有了这种图式在解题思考中作为思考的平台，就好像站在巨人的肩膀上，自然比别人看得远，想得深.如果我们平时的学习中能够形成若干个这样的图式，相信一定会对解题起到巨大的作用，而这一工作从高一就开始做最好，长此以往，到高三之后，同学们一定会成为解题的高手，

二、广交朋友千里行

俗话说，“一个篱笆三个桩，一个好汉三个帮”.同学们，不要以为我们在解题时一直是孤军奋战的，实际上我们有很多好朋友在等待着提供帮助.在此我要给大家隆重介绍两个重要的帮助思考的朋友，它们是“图象”和“特殊化”.当我们在解题遇到困难时，一定不要忘记呼唤它们来协助我们战胜困难.除了自身强大，一身“硬功夫”，再有个好人缘，解题想不顺利都难.

可见利用数形结合可以让解题变得直观形象，多了几分“灵气”，因为运用数形结合解题往往能直接揭示问题的本质，正如我国著名数学家华罗庚先生所说：“数缺形时少直观，形缺数时难人微.”

相比数形结合，特殊化也是我们解题时的一盏阿拉丁神灯，有着巨大的作用.数学大师希尔伯特曾说过，“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用，这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一.”

同学们，通过以上的学习和思考，相信你对数学有了更为透彻的认识，也有了更系统、科学的方法，那么让我们从现在开始，不断尝试、不断积累，争做一个敢思考、会思考、乐思考的达人吧！