掌握两法则和四模型，学好随机变量概率分布

臧华

离散型随机变量的分布列、期望和方差等常与排列组合概率等知识综合命题，很多同学在解有关题目时，大致的思路一般都能找到，但在具体解答时要么数据计算错误，要么特殊模型采用一般方法求解导致解答繁琐，因此要学好随机变量概率分布列就一定要掌握好“两法则”和“一大三小四模型”.

注意：第（1）问由概率反过来求球的个数，只要熟知排列组合公式即可;第二问中，计算每个ξ值所对应的概率时，很可能考虑不周全或者计算有误而致错，我班同学在解题时经常发生，可以通过验证P1+P2+P3+…+Pn=l这个法则来解决，且每个概率值都非负.

评注 求离散型随机变量的分布列时应注意：首先，明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值时所表示的意义;其次，利用排列组合和概率的有关知识，求出随机变量取每个值时的概率，如本例1中，利用古典概型的概率公式求出随机变量取各個值时的概率;最后，列表格写出分布列，并注意用分布列的两个性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确，

在解决一些复合型随机变量的概率分布列时公式使用显得尤为重要，除了法则二，还有一些公式大家也可以记一下：

二、四种模型

一般情况下，离散型随机变量一般采用E（X） =X1P1 +X2P2+…+XnPn来计算数学期望.

例3 甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左手从甲袋中取球，用右手从乙袋中取球.

若一次在同一袋中取出两球，如果两球颜色相同则称这次取球获得成功.某人第一次左手先取两球，第二次右手再取两球，记两次取球的获得成功的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.

例5 已知一个袋子中有3个白球和3个红球，这些球除颜色外完全相同.

（1）每次取出一个球，取出后不放回，直到取到一个红球为止，求取球次数ξ的分布列和数学期望E（ξ）;

（2）每次取出一个球，取出后放回接着再取一个球，这样取3次，求取出红球次数η的数学期望E（η）.

评注 近几年高考一般通过实际背景考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算及离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，同时也考查超几何分布、二项分布等特殊的概率模型.解决此类问题时要注意分清取样方式和合理地选择恰当的模型解题.