例析一次函数有关的三角形面积问题

高健

摘 要 函数是初中数学中的一个重点，将一次函数的图象与三角形面积综合在一起是多年来中考考查的重点题型。主要对初二阶段学生所遇到的一次函数和三角形面积问题及解决方法进行了题型归纳总结，为解决此类问题提供一些可借鉴的方法。

关键词 初中数学;一次函数;三角形面积

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2019）04-0158-02

函数是初中数学中的一个重点，将一次函数的图象与三角形面积综合在一起是考查学生综合核心素养和解决问题能力的热点题型，也是多年来中考考查的重点题型，它充分体现了数学解题中的数形结合思想和整体转化思想。解决这一类的问题，学生应理解点的坐标的几何意义，会把点的坐标转化为线段长度，会把面积转化为线段，坐标，建立面积问题、线段，坐标之间的联系。下面，笔者根据自身的教学实践由一道题目出发进行条件的变换，将一次函数的面积基本问题进行了题型归类及方法的总结，大部分的面积问题都可以转化为这两类四种的基本题型来解决。

一、与一次函数有关的三角形面积基本模型

（一）一条直线与坐标轴所围成的三角形面积

1.已知解析式求面积

此情况下所围成的直角三角形两条直角边落在坐标轴上，它的长分别是直线与轴、y点横坐标、纵坐标的绝对值，用此求出三角形的面积

例1：已知直线y=2x-2分别交x、y轴于A、B两点，则 △AOB的面积等于.

解：令x=0，可得B（0，–2），令y= 0，可得A（1，0），则S_△AOB = ×2×1=1。

2.已知面积求解析式

解决这类问题有两种方法：

（1）代数的方法，一般用方程去解决：带着参数b表示出三角形的两条直角边，运用方程来解决，过程中需要注意点的坐标不确定象限的情况下线段长度需要加绝对值

（2）几何的方法：由给出的直线条件判断直线的位置，比如已知k固定，b不确定就构成了一系列的平行的直线系，找到里面符合条件的分类别求出来.

例2：已知直线y=2x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，且△AOB的面积是9，求b的值

解：法一：令x = 0，可得B（0，b），令y= 0，可得，则，

这个一次函数的解析式为y = 2 x + 6或y = 2 x – 6。

【点评】这种方法要注意与绝对值有关的分类讨论思想，不可将OA示为，那样会漏掉一种情况.

法二：观察函数解析式，可知动直线y=2x+b是一系列平行的动直线，经观察和分析发现满足条件的直线在原点O的上方下方各一条，分别分两种情况来解决：

在原点O上方时：

，

这个一次函数的解析式为y = 2 x + 6

同理，在原点O下方时，∵b<0 ，∴b = -6。

这个一次函数的解析式为y= 2x– 6。

（二）两直线与坐标轴所围成的三角形面积

1.已知解析式求面积

例3：已知一次函数y= 2x- 2，y = - x +3与y轴相交于B，C两点，求两函数图象与x轴围成的三角形面积。

解：y= 2x- 2与y= -x+3与y轴的交点坐标为：

B（0，-2），C（3，0）.

解得：

∴

2.已知面積求解析式

例4：已知直线y=2x-2交x、y轴于A、B两点，点P在轴上，若S_△AOB = 2，求点P坐标。

解：令x= 0，可得B（0，–2），令y= 0，可得A（1，0），①当P在A点右侧时，如图P1，△ABC的高为OB=2，所以AP=2， P（3，0）。

②当P在A点左侧时，如图P2，△ABC的高为OB=2，所以AP=2，P（-1，0）.

变式1：已知直线y=2x-2交x、y轴于A、B两点，点P在直线y=2x-2上，若S_△OBP=2，求点P坐标。

解：令x= 0，可得B（0，–2），令y= 0，可得A（1，0），①当P在A点右侧时，如图P1， △ABC的底为OB=2，所以OB上的高为2，即P点的横坐标为2， P（2，0）.

②当P在A点左侧时，如图P2，△ABC的底为OB=2，所以AP=2，即P点的横坐标为2，P（-2，0）。

这类题目的第三条边是由一动点与一定点构成，两道题目的不同之处在于，例4是已知高需要确定底，经过改变条件的变式1是已知底需要确定高的长度，两者都是要将线段长度转化为坐标，根据象限不同有两种情况，体现分类讨论的思想。

二、基本模型在面积问题中的应用

平时遇到的所有有关一次函数与三角形面积问题均可化为以上基本题型来解决，接下来可用三道典型例题来加以说明.

练习1：已知一次函数y=x+2与x轴交点B，y轴交C，与正比例函数y=2x相交于点P，

（1）求两直线与x轴，y轴形成的三角形面积;

（2）在x上是否存在一点A，使S_△POA=S_△POB，求出点有坐标;若不存在，请说明理由：

【分析】

第（1）问是典型的例2，求交点坐标，得三角形的高和底即可解决：

第（2）问，只需求出的值，问题转化为两直线一坐标轴中变式例4。

练习2：已知直线y=x+3的图象与x轴、y轴交于A、B两点，一条直线经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2 ：1两部分，求这条直线的解析式

【分析】这道题目体现了分类讨论的思想，存在两种情况，然后问题转化为两直线一坐标轴的问题来解决。

通过以上题目的归纳总结可以得出，一次函数所构成的三角形面积问题中，若能够运用坐标转化为线段长度直接求出来的三角形面积看作是过则图形的话，我们把不能直接转化线段长度的为“不规则三角形”。规则的三角形分为两类：

（1）有一条或者两条边是坐标轴;

（2）至少有一條边平行于坐标轴。对于不规则三角形我们可以通过分割或者补形的方式让它具备上面的其中一个条件，转化为规则三角形来做。

转化的三角形的面积是基本的面积模型，比较容易得出.因此，只需掌握在第一部分中介绍的两大类，四种题型的解决方式，所有有关一次函数和三角形面积问题题目都可用转化的思想转为为基本模型去解决，解决问题的基本程序是：

（1）确定是否为规则三角形，若不是，则用分割或者补形转化为规则三角形;

（2）确定交点坐标（可用参数表示） ;

（3）求出有关线段的长度;

（4）将有关图形的面积化归为与坐标轴有联系的几个基本图形的和差倍分，然后利用图象与面积间的关系求解。

参考文献：

[1]刘美杰.与一次函数有关的面积问题[J].中学数学教学参考，2017.