量子B－代数的可逆元

顾晓娟， 韩胜伟

（陕西师范大学 数学与信息科学学院，陕西 西安710119）

1 引言及预备知识

基于Quantale中的逻辑蕴含算子→和 ，Rump等［1－4］提出了量子B－代数的概念，并对量子B－代数进行了一系列的研究．量子B－代数包含了大部分蕴含代数，例如BCK－代数，剩余格，偏序群，BL－代数，MV－代数，效应代数以及它们的非可换形式，并且量子B－代数为非可换代数逻辑提供了统一的语义［1－3］．量子B－代数与 Quantale有着紧密的联系［1－2］．一方面，Quantale是量子 B－代数，即量子B－代数可以看作是Quantale的一种推广．另一方面，给定一个量子B－代数X，可以构造一个上集Quantale U（X）．从范畴的角度来看，量子B－代数范畴与逻辑Quantale范畴是等价的［2］．Rump［2］介绍了量子B－代数 X 中的可逆元，并利用上集Quantale U（X）给出了可逆元的刻画．本文的一个重要工作是利用量子B－代数自身元素的性质来刻画可逆元，并证明了所有可逆元构成一个偏序群．

定义1．1［1－2］设X 是一个偏序集，→和 是X上的二元运算．若→和 满足下列条件：x，y，z∈X，

则称（X，→， ）是一个量子B－代数，简记为X．

命题1．2［1］设 X 是一个量子B－代数，则x，y，z∈X，

定义1．3［1］设X 是一个量子B－代数，u∈X．若x∈X，有u→x＝u x＝x，则称u是X 的单位元，X是一个单位量子B－代数．

注1．4 设X是一个单位量子B－代数，u是单位元，则a≤bu≤a→bu≤a b．

定义1．5 设（X，≤）是一个偏序集，（X，·）是一个群．若·是序相容的，即a，b，c∈X，a≤ba·c≤b·c，c·a≤c·b，则称（X，≤，·）是一个偏序群．

注1．6 每一个偏序群都是一个单位量子B－代数，其中a→b＝b·a－1，a b＝a－1·b．

本文所用到但未提及的概念和符号请参考文献［6－7］．

2 可逆元

本节主要利用量子B－代数自身元素的性质来刻画可逆元．首先，介绍了量子B－代数的可逆元的定义及等价刻画．其次，研究了量子B－代数的可逆元的相关性质．最后，利用量子B－代数X中的二元运算→和 定义了新的二元运算，证明了所有可逆元构成一个偏序群．

定义2．1［2］设X是一个单位量子B－代数，u是单位元，a∈X．若x∈X有：

则称a是可逆的．用X－1表示X中所有的可逆元．

注2．2 设X是一个单位量子B－代数，u是单位元，则u∈X－1．

引理2．3 设X是一个单位量子B－代数，u是单位元，a∈X．若x∈X，

则a是可逆的．

证明 对于x∈X，由命题1．2的结论5）知x＝u→x≤（a→u）→（a→x）．再由条件可知（a→u）→（a→x）＝x．同理可证（a u） （a x）＝x．因此a是可逆的．

引理2．4 设X是一个单位量子B－代数，u是单位元，a∈X－1，则：

证明 1）因为a∈X－1，由注1．4知

引理2．5 设X是一个单位量子B－代数，u是单位元，a∈X－1，则a→u＝a u．

证明 设x∈X，由注1．4和引理2．4知

引理2．6 设X是一个单位量子B－代数，u是单位元，a∈X－1，则：

证明 1）因为a∈X－1，则由引理2．5知

推论2．7 设X是一个单位量子B－代数，u是单位元，a∈X－1，则：

证明 1）由命题1．2的结论3）和引理2．6知a≤（a→u）→u，需证（a→u）→u≤a．因为u≤a→a，所以（a→u）→u≤（a→u）→（a→a）＝a．

引理2．8 设X是一个单位量子B－代数，u是单位元，a∈X－1，则

证明 因为a∈X－1，由引理2．5和推论2．7知同理可证u＝a→a．

引理2．9 设X是一个单位量子B－代数，u是单位元，a∈X－1，则a→u，a u∈X－1．

由推论2．7知

设t∈X，则由引理2．5知

从而a→（（a→u）→x）≤x．由引理2．5和推论2．7知

类似上述方法可证≤x．因此，a→u∈X－1．同理可证

推论2．10 设X是一个单位量子B－代数，u是单位元，a∈X－1，则：

命题2．11 设X是一个单位量子B－代数，u是单位元，b∈X－1，则a∈X有：

证明 1）因为b∈X－1，由推论2．7知（b→u）

命题2．12 设X是一个单位量子B－代数，u是单位元，a∈X－1，则b∈X有：

证明 1）因为a∈X－1，所以（a→b）→u＝（a→b）→（a→a）≥b→a．

引理2．13 设X是一个单位量子B－代数，u是单位元，a，b∈X－1，则x∈X 有：

证明 1）设t∈X，由引理2．4和引理2．5知

所以（b→a）→（（a→b）→x）＝x．

命题2．14 设X是一个单位量子B－代数，a，b∈X－1，则

证明 设u∈X是单位元，由a，b∈X－1和命题2．12知a→b≤（b→a）→u．又由引理2．13知x∈X，

2．3知a→b∈X－1．同理可证

命题2．15 设X是一个单位量子B－代数，u是单位元，a，b∈X－1，则

证明 因为a，b∈X－1，由推论2．7知

设X是一个单位量子B－代数，u是单位元．定义X上的二元运算·和＊，如下

一般情况下，·和＊不满足结合律．

命题2．16 设X是一个单位量子B－代数，u∈X是单位元，a，b∈X．若a≤b，则c∈X有：

证明 1）若a≤b，由命题1．2的结论2）可知：

2）同理可证a＊c≤b＊c，c＊a≤c＊b．

引理2．17 设X是一个单位量子B－代数，u是单位元，则：

2）X－1对·和＊运算封闭，即

2）因为a，b∈X－1，由命题2．14知同理可知．

命题2．18 设X是一个单位量子B－代数，u是单位元，则（X－1，⊙，≤）是一个偏序群．

因此，（X－1，⊙）是一个半群．又因为

即u对于⊙是单位元．由推论2．7和引理2．8知

即a→u是a的逆元．因此（X－1，⊙）是一个群．再由命题2．16知（X－1，⊙，≤）是一个偏序群．

3 工作展望

在第1和2节中，可以看到偏序群和单位量子B－代数之间的关系．下一步的工作是从范畴的角度来研究偏序群范畴和单位量子B－代数范畴之间的关系．