核心素养视角下的初中数学复习课——以“一元二次方程”为例

☉江苏省无锡市塔影中学 胡 吉

数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.深度学习的目的导向将教师由过分注重学生成绩转向“思维思辨”的能力培养，课堂复习的形式也应当由机械训练转向多向思维.成功的课堂不仅要求学生能解决问题，也要善于发现问题、提出问题；课时的设置要坚持问题导向，精选能激发学生探究欲望的、易错的、有代表性的例题，这样将有利于激发学生深度学习，形成有积极思维的课堂

一、理论简介

基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》，有人提出了数学学科核心素养，数学学科核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析，共六项三大类；其中能展示数学一般特性的是数学抽象与直观想象，而数学运算与逻辑推理则强调了数学的严谨性，能体现数学的实用性的便是数据分析与数学建模.一直以来广大教师一直试图通过构建思维课堂来培养学生的数学思维，从而促使学生深度学习，而数学学科核心素养的提出，无疑为这一目标起到了导向的作用.下面笔者以一节“一元二次方程”复习课为例，探讨如何基于核心素养设计复习课，从而促使学生数学思维的发展.

二、教学设计

1.梳理旧知，构建思维导图

师生活动：提前布置，让学生在课前对整章节的知识进行梳理，然后在教师的引导下通过小组合作的方式构建基于一元二次方程知识点的脉络体系的思维导图.

设计意图：让学生回归教材，重温知识点.通过制作思维导图的方式将整个知识体系串联起来.通过师生互动、小组互助的方式让学生在相对轻松的环境中提高参与度，对后进生而言，尽管这件事并非由其主导，但由于参与整个过程，印象也会比较深刻，为本节课接下来的教学做好铺垫.

2.精讲精练，提高方法

问题1：用适当的方法解以下方程：

师生活动：让学生上黑板演示.其中对于第（1）题，学生选择了直接开平方法，对于第（2）题，学生选择了配方法，对于第（3）题，学生使用了公式法.以上3题多数学生方法类似.然而在第（4）题的处理上产生了分歧，最初上来演示的学生直接在两边同时除以，然后由计算得到x=6，随后立即有学生指出少了一个根，指出错误的学生选择的方式是两边直接展开，通过同类项的合并得到x2+9x-90=0，随后通过十字相乘法获得结果为x=6或x=-15.又有学生提出可采用换元法用y替代，然后通过移项并提取公因式的方法，能使原本复杂的运算更加简化.

图1

在这一过程中，教师通过学生操作可总结：缺一次项的一元二次方程宜采用直接开平方法；二次项系数为1、一次项系数为2的倍数的易于配方，使用配方法较为简便；系数中含无理数，使用其他方法没有优势的，宜考虑公式法，当然用公式法计算应先验证b2-4ac是否为非负数，再考虑进一步计算.在第（4）题的解答中，对于第1名学生因错误导致的失根情况，应及时分析产生的原因，避免下次再犯类似的错误；第2名学生的方法尽管运算量较大，但在很多情况下也被使用到；显然第3名学生的方法是最简单、易操作的.这就为学生思维的发散留下了空间，应提倡一题多解.

设计意图：设置各种题型，通过计算，让学生能感受一元二次方程各种解法的不同，同时通过不同解法产生思维碰撞，让学生切实体会用什么方法更合适，这样也有助于学生思维的发展.

问题2：当a为何值时，关于x的方程（m-1）x|m|+1+3x+9=0为一元二次方程？

师生活动：引导学生回顾一元二次中“元”和“次”的基本要求，对照思维导图中一元二次方程的一般形式，根据学生的回答板书：最高次项必须是二次，最高次项的系数不得为0.

设计意图：强调一元二次方程的定义，对于概念、定义，不能简单机械地停留在表面的记忆，而应当结合练习掌握其实质，做到学以致用.同时为问题4的设置埋下伏笔.

问题3：不解方程，判别下列方程根的数量：

师生活动：本题由学生自发举手口答完成.

设计意图：通过一个基础题型让学生回顾并练习如何使用根的判别式来判断方程根的三种情况.

问题4：已知关于x的方程3kx2+12x+k=-1有两个相等的实数根，且k＞0，求k的值并解这个方程.

师生活动：本次由学生板演完成，教师应提示学生注意此处求k的值时不应遗漏k＞0这个条件，且求完k的值后应进一步解出方程.

设计意图：此题意图引导学生逆向思考根的判别式的有关问题，即在有字母系数的前提下如何根据方程根的情况确定参数的范围，为下面的追问做铺垫.

追问：你能解决好下面这个问题吗？

已知关于x的方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有实数根，求k的取值范围.

师生活动：很快有学生上黑板板演：（2k+1）2-4（k-2）2≥0，解得k≥.刚写完，立刻有学生说：“不对！”作为一个一元二次方程，首先要考虑保证二次项的存在，所以二次项系数不为0；其次得到一元二次方程要有实数根，故根的判别式Δ=b2-4ac≥0，因此解题如下：

其实此题的答题关键词在于实数根和方程，从形式上看会让人认为这是一个一元二次方程，所以，多数学生得到上述相同的结果，并认为完全正确.但若仔细审题，会发现此处的描述是方程，而方程是可以有多种形式的，除去次数的限制，此处即使（k-2）2=0使方程不含二次项，但之后得到的5x+1=0依然满足了是方程这个条件，因此k=2时依然符合题意.综合上述，最终k的取值范围为

设计意图：在上题的基础上，此题的设置意在考查学生思维的严密性，对于一元二次方程，在任何时候都要考虑其根本的定义需要保证其最高次项为二次；而细心阅读、正确审题应是学生阅读素养的基本要求，此处审清题意，画出关键词后，将眼光从一元二次方程的局限性上解放出来，强化知识结构拓补，提高思维的广泛性.

问题5：在以下关于x的一元二次方程中，求

师生活动：对于这两个题目，学生使用了不同的解法，第（1）题学生使用十字相乘法求出x1=3，x2=-1，然后将x1和x2代入求值；第（2）题学生使用根与系数的关系求x1+x2和x1x2，然后用进行相关计算.

设计意图：通过实际题型的对比，让学生感受当一元二次方程两根结构较为复杂的情况下用与x1和x2相关的代数式求值的便捷性.

问题6：若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根x1和x2，其中两根分别满足以下条件，求a.

师生活动：对于（1），很多学生单纯考虑了x1+x2=-4，x1x2=a，得到a=-3.对于（2），也有学生采用了此种方式，结果求出a=±5.可引导学生将a=5代入原方程，发现原方程无解.此时让学生探讨这种情况产生的原因是忽略了两个不相等的实数根这一条件，因此需添加Δ＞0，得a＜4，则a只能取-5.

根据目前学界的讨论成果，体育赛事转播权并不是一个严谨的法律概念；学者们也并没有就它的内涵外延达成共识。

设计意图：（1）的题型设置极易让学生忽略两个不相等的实数根这一条件，因为此题中用不到.因此若在此追加（2），可使学生体会到在运用一元二次方程根与系数的关系时，不能忽视其产生的前提条件是原方程有实数根，也就是必须考虑根的判别式，能对单个知识点进行迁移和延伸，从而提高学生思维的严密性.

追问：若关于x的方程x2+4x+a=0的两个实数根都小于1，你还能求实数a的取值范围吗？

师生活动：引导学生发现，实数根与1的大小比较通常可由作差来体现，当然也不能忽略了实数根产生的前提条件.

解：设原方程的两个根为x1、x2.

则x1+x2=-4，x1x2=a.

由题意得x1＜1，x2＜1.

设计思路：以上三题考查了利用根与系数的关系求字母的范围，由浅入深，虽然解题的切入点略有不同，但是其共同的规律就是在利用根与系数的关系确定字母的取值范围时，必须同时考虑根的判别式，也就是字母的取值能否使原式产生符合要求的实数根，通过三题的归类和思考，促使学生总结出这类题的解题方法.

三、教学反思

1.坚持兴趣导向，精心安排过程，提高学习效率

学生的学习不能仅仅依靠压力迫使其被动学习.学生能力特别是创新能力的提高及数学思维的培养，更多的应该通过兴趣激发.兴趣能激发学生潜在的求知和探究的欲望，从而成为思维和能力发展内在的动力.因此，教师在安排复习课内容时，应当精心挑选学生可能感兴趣的内容，问题的设置需要有导向性，尽可能精确制导，安排那些让学生觉得有价值的题目，让学生觉得有兴趣并愿意花时间去掌握的内容.

对于学生而言，公式只是公式，如果仅仅只是强调这个公式是什么、这个定理怎么用是不够的.应该跟他们探索定理、公式是怎么来的，怎么会探索到这个结果，在什么情况下这个定理是有用的，能解决什么问题，顺着怎样的思路我会探索到这一步，这其中是怎么去思考的.这样的引导方式能让学生对学习的目的更加明确，学以致用也不会仅仅停留在口头阶段.

2.巧用学科思维导图，加强概念间的逻辑关系，图形化理解知识结构

数学本身需要经历一个从直观到抽象的过程，但如果能使抽象的东西以一种图形化方式直观呈现，那么学生对知识点复习的效果将显著提升.相对于枯燥无味的文字概念，按学科本身的结构、规律、特点来绘制的学科思维导图能使概念与概念之间的逻辑关系通过可视化的方式展示出来，无论是接受新知识还是复习旧知识，都能使学生对当前内容和知识的掌握程度显著地改善和优化.

在阶段性复习的时候，教师可以引导学生在大致了解整个单元的知识结构之后，通过解析数学概念之间的纵横关系、要素间的联系，厘清思路，画出思维导图框架.然后进一步细分思维导图，将其所包含的多个过程不断细化，并做好明确的标注，通过导向性提问来帮助学生回顾相关的知识点，让学生通过相互讨论、互相补充的合作方式，将松散的知识点串联起来，构建出完整的知识脉络体系.这样的方式将有助于提高学生的逻辑思维能力，起到加深理解的效果，复习的效率便能大大提升.课后可以通过布置将根据本课相关内容制成的思维导图与所讲例题进行对应关联，引导学生对课堂进行回顾，进一步完善思维导图.

3.加强针对性，提高层次性，培养“归类建模”能力

核心素养中包含的重要内容之一便是数学建模的能力.所谓建模，其要求是在提出问题、分析问题、解决问题的过程中能利用数学的方法和思维得到一个大致的模型，并在使用过程中通过不断改进来持续优化这个模型，从而能得到一种符合学生思维和解题规律的程序.

在复习过程中，我们应当根据课程标准和学情的实证分析，通过类似题、可变题型的对比，引导学生从不同角度分析问题，从类比到归纳，在实践中总结带有规律性的解题思路和操作方法，并在教师引导下归类建立数学模型，达到以不变应万变，实现对知识点深层次的理解，从而提升学生的归类建模能力.

4.提倡深度学习，鼓励质疑探究，多向发散思维

深度学习的目的导向将教师由过分注重学生成绩转向“思维思辨”的能力培养，课堂复习的形式也应当由机械训练转向多向思维.成功的课堂不仅要求学生能解决问题，也要善于发现问题、提出问题.课时的设置要坚持问题导向，精选能激发学生探究欲望的、易错的、有代表性的例题，这样将有利于激发学生深度学习，形成有积极思维的课堂.教师还要鼓励学生在充分思考的基础上提出自己的观点，对于问题要善于探究、敢于质疑、勇于自我展现.在此过程中，教师也要及时抓住契机，对学生给予充分肯定，不要吝惜自己的赞赏，让学生能从探究的快乐中感受快乐和自我价值.通过“质疑”让学生明确问题的实质，通过“探究”让学生在过程中通过多向考虑掌握相应的方法，促进自己综合素养和解题能力的提高，从而实现课堂教学的有效性.

四、结束语

核心素养导向的复习课，最终的关键并不在于教学内容的完成，而是通过本课的复习，学生掌握了什么，养成了什么，发展了什么.若通过本课的学习，能够促使学生深度思考，构筑起与本课内容相关的知识脉络、养成更好的学习习惯、掌握更多方法、发展更好的学科适应能力，并将其内化为与课程目标相符的数学学科核心素养，那么这样的课堂便是有效的思维课堂.