“以形辅数”在数学教学中的应用探究

谭艳霞 陈秋月

摘要：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”寥寥数语，将数形之妙说得淋漓尽致。以形辅数可以达到图文并茂的效果，使数学学习的内容更直观和生动化，从而让学生在解题的过程中得出最精确的答案，润物无声。

关键词：以形辅数；数学教学；数形结合

数学教学中，数与形是两大模块，可转化，相辅相成。数形结合是数学学习中比较常用的一种方法，是数学的灵魂，通过数与形的相互结合，可以达到图文并茂的效果，使数学学习的内容更直观和生动化，从而让学生在解题的过程中得出最精确的答案，润物无声。教师在日常的教学中，应有意识地引导学生熟练地掌握数形结合的思想与方法。近些年，各地市也悄然兴起“用形辅数”的数学题。

一、 通过几何图形达到数形结合

例1：在数学活动中，小明为了求12+122+122+123+123+124+……+12n的值（结果用n表示）。设计如图所示的几何图形。

（1）请你利用这个几何图形求12+122+122+123+123+124+……+12n的值为。

（2）请你利用下图，再设计一个能求12+122+122+123+123+124+……+12n的值的几何图形。

解：（1）设总面积为：1，最后余下的面积为：12n

故几何图形求12+122+122+123+123+124+……+12n的值1-12n。

故答案为：1-12n。

（2）如图：

评注：这是一个等比数列求和問题，用代数方法难懂且计算量偏大，通过巧妙地构图求解，让学生体会了数学的和谐美，感受以形辅数的强大魅力，同时还考查了学生的动手能力和创新解题意识。

例2：结合“最近发展区”理论，在学生学习了一般的多项式与多项式乘法的基础上，探索具有特殊结构特征的多项式与多项式相乘——平方差公式，（a+b）（a-b）=a2-b2。在这一部分的教学上也可以采用数形结合法，借助几何方法进行验证：在长为（a+b）、宽为（a-b）的矩形上剪下一个宽为b的小矩形，拼成如下图（a>b>c），请用不同的方法表示你剪拼前后的图形的面积关系。

（a-b）（a+b）=a2-b2

在教学中，由学生思考如何验证平方差公式，引导学生能够从不同角度来思考问题。可以用多项式乘法计算验证其公式的正确性，也可以激发学生小组合作完成剪拼游戏，利用剪拼前后图形的面积不变这一关系，从几何面积的角度得出等式，进一步验证了平方差公式的正确性，渗透数形结合的数学思想，使学生体会到数与形的内在联系。

二、 借助数轴进行数形结合

例：学生基本都知道，|6-（-1）|表示6与-1差的绝对值，|6|表示6到原点的距离。试想|6-（-1）|表示哪两点之间的距离呢？

请从代数和几何的角度探索：

（1）|6-（-1）|=。

（2）同理|x+6|+|x-1|在数轴上表示有理数x所对的点到-6和1所对的点的距离之和，是否存在这样的有理数x，使得|x+6|+|x-1|=7成立？这样的有理数有什么特点？

（3）借助以上探索并猜想：对于有理数x，|x+6|+|x-1|是否有最小值？如果有，请直接写出最小值；如果没有，请说明理由。

评析：绝对值是初中数学教材中的重要概念之一，同时也是学生难以掌握的问题之一。在教学中，应加强数形结合思想的渗透，将初看是代数的最值题，转化成线段长度的探讨，利用数轴上的两点间的距离公式的几何意义解决，达到数形结合以形辅数的效果。这些源于教材又异于教材的创新设计给学生的学习带来了活力，增强了学生学习的主动性和创造性。

三、 通过函数达到属性集合

例：利用函数图象解方程组y-2x=1，x+2y=2.

解：方程组的解为函数y=2x+1与y=-12x+1图象的交点坐标，如图所示，∴方程组的解为x=0，y=1。

例：若方程有一正实根和一负实根，则m的取值范围是（）

A. m>12

B. m<12

C. m>-12

D. m<-12

评析：按常规，这道题应该按照方程的判别式，韦达定理列出不等式组解答。现在我们可以将它转化为二次函数，用以形解数的数学方法来解决。

数学，严谨而需要创意。赞科夫说：“教会学生思考，这对学生来说，是一生中最有价值的本钱”，因此要培养学生独立思考解决问题的能力，渗透思想方法：如数形结合，转化，整体思想等，这些都是解决众多数学问题的行之有效的数学思想。具有将抽象的数量关系形象化，直观性强，易理解、易接受的特点。在教学活动中，教师可采用多种方式引导学生思考，让数形结合运用到实际的数学问题解决中，真正地理解和领悟以形解数的真谛。

参考文献：

[1]程正龙.浅议数形结合思想在初中数学中的运用，文理导航[J].2011（12）.

[2]施献慧.数形结合思想在数学解题中的应用，云南教育[J].2003（35）.

作者简介：

谭艳霞，陈秋月，福建省漳州市，厦门双十中学漳州校区。