采用有限质点法分析导线微风振动的有效性与适用性

徐宁波

(中国铁路设计集团有限公司，天津300308)

随着我国社会和经济的飞速发展，为缓解日趋紧张的电力供应与电煤运输带来的输电网络压力，高效率、远距离、大容量的特高压输电线路建设显得尤为迫切，这同时也是优化我国能源生产和消费布局，实现能源与经济协调发展的要求。导线长期微风振动不仅会磨损金具，还会致使导线疲劳断裂[1-6]，因此有必要研究导线的微风振动作用。

当较小的横向风以风速0.5～10.0 m/s左右吹过导线时，会在导线上作用上下交替变化力，引发导线在1～2倍直径范围内的垂直振动，称为微风振动。国内有不少学者对此进行了研究：张建国等[7]研究了特高压输电线路的大截面导线微风振动特性；J.Vecchiarelli[8]采用有限差分法计算研究了输电线的微风振动响应；Oumar Barry[9]基于哈密顿变分原理，建立了导线的微风振动有限元动力方程，并分析了导线的自振模态；李黎等[10]研究利用改进的能量平衡法(energy balance method，EBM)和有限元法(finite element method，FEM)分析微风振动作用下导线的振动响应。

上述研究在导线微风振动计算分析方面均可以得到比较精确的响应，但未充分考虑一些影响因素，例如：EBM忽略了导线本身的动力特征；FEM通常假定导线按照正弦曲线振动来进行分析，与实际情况有所差别；FEM计算复杂，效率低。

喻莹等[11-14]利用有限质点法(finite particle method，FPM)对结构进行了动力非线性分析，取得了较精确的结果；谢文平、徐宁波等[15-18]利用FPM对导线进行了找形与动力分析，但未对方法的适用性和有效性进行验证说明。本文在上述文献的基础上，推导了应用FPM计算导线微风振动响应的中心差分方程。首先介绍了引发导线微风振动的经验微风激励力，接着通过导线的自阻尼功率推导了导线的阻尼系数，并建立了基于FPM的导线动力分析模型，再利用Fortran编程计算了导线的微风振动响应，最后分析了风速、导线运行张力及档距等因素对导线微风振动的影响。

1 微风激励力

导线在较低的风速下，会发生周期性的涡激共振。在“锁定”效应作用下，导线承受的周期性涡激励附加了与导线本身运动有关的非线性涡激励项，使得导线与风的相互作用进入流固耦合作用范围，获得其理论解析解十分困难，一般采用半经验模型，如简谐力模型、升力振子模型、经验线性模型、经验非线性模型、广义经验非线性模型等[19]。本文采用Scanlan提出的基于负阻尼的涡激共振非经验模型，参考相关文献得到微风激励力

(1)

式中：ρ为空气密度；v0为平均风速；D为导线直径；K为缩减频率，K=ωD/v0，ω为旋涡脱落频率；Y1(K)为线性自激阻尼；Y2为线性气动刚度；Y3(K)为气动参数；CL(K)为谐振项升力系数；u为振动位移；ωst为Strouhal圆频率，ωst=2πStv0/D，St为Strouhal数；t为时间；φ为相位差。一般地，Y3(K)与CL(K)在微风振动稳定时可忽略不计。

2 导线自阻尼

导线吸收或消耗风传递的振动能量的能力常用其自阻尼功率表示。影响输电导线自阻尼功率的因素有许多，包括导线微风振动振幅及频率、导线运行张力、外界环境温度以及导线自身材料特性等。一般输电线的自阻尼主要由结构变形阻尼与材料变形阻尼两部分组成，由于导线不同的生产工艺，其自阻尼功率分散性大。目前，一般是通过试验测定来确定输电导线自阻尼功率，汪峰等[20]对大跨越导线的自阻尼特性进行了试验研究。通过导线自阻尼试验，可得到自阻尼功率

(2)

式中：f为振动频率；y0为双振幅；Hc为滞后阻尼常数；G为导线张力；m为导线单位长度质量。

通常情况下，为方便分析，将导线的自阻尼简化等效为经典粘滞阻尼来考虑。由结构动力学的相关理论，在简谐荷载作用下，对于含粘滞阻尼的单自由度体系，阻尼力在一个周期内消耗的能量

(3)

式中：T为周期；fd为阻尼力；ys为振动位移；t为时间；c为粘滞阻尼系数；A为最大振幅。

在一个周期内，令单位长度导线的自阻尼消耗的能量与单自由度体系消耗的能量相同，即

W=PcTΔl=PcΔl/f.

(4)

解得等效粘滞阻尼系数

(5)

式中Δl为导线长度。

式(5)中的等效粘滞自阻尼系数常常采用能量平衡法来预估。在FPM中，结构的阻力作用通常是通过对质点施加虚拟的阻尼力fd来考虑，其表达式为

(6)

于是有ξ=c/m，其中ξ为阻尼比，xi为质点i偏离平衡位置的水平距离，yi为质点i偏离平衡位置的竖向距离。

3 导线微风振动分析

FPM是固体力学和向量式结构力学结合的产物，通过将结构离散为由杆件相连的质点，来实现结构的“点值描述”，同时采用离散时间点上质点的运动状态来描述质点运动，实现结构的“途径单元”描述，质点间单元的变形和内力则通过虚拟的“逆向运动”求得。

3.1 导线的点值描述

结构的空间位置和几何形状，在向量式力学中是由多个质点的位置来描述的，称为点值描述。导线的点值描述如图1所示。

对结构进行点值描述的质点具有如下特性：

a)质点只受到集中力作用。所有的内力(与质点相连单元作用在质点上的力)和外力都是等效为集中力后作用在质点上的，且质点在任意时刻都处于动平衡状态。

b)质点间通过单元连接。连接质点的单元没有质量，用来约束质点，单元在外力作用下始终保持静平衡状态。

c)质点运动决定单元的变形，单元变形产生的内力同时也大小相等、方向相反地作用于与它相连的质点上。

图1 导线的点值描述

采用FPM进行导线微风振动分析时，需先对导线进行点值描述，将导线划分为有限个质点，导线的振幅与其直径相当，属于大变形问题，需考虑其几何非线性的影响，计算模型如图2所示。

图2 导线的计算模型

3.2 途径单元描述

FPM中质点的轨迹是由一组离散时间点的点值描述的，是时间的函数。分析时假设质点的始末位置向量分别是x(ta)和x(tb)，分析的时间点分别是t0和tf，将整个分析过程离散为有限个时间点，如t0，t1，t2，…，ta，tb，…，tf，如图3所示，途径单元可以由某一时间段ta-tb表示。

图3 途径单元

在任一途径单元里，作以下假设：

a)以结构最初的状态作为参考，计算其内力和位移；

b)构件的转动为中度大转动；

c)忽略几何变化的影响；

d)单元间相互独立，可单独计算其内力和变形，无需集成整体。

在设置途径单元后，就可以分析导线微风振动时质点位置和速度的时间历程，对大变形和大转动的结构，可使用一组持续增加途径单元来处理，由途径单元的假设，可以保证结构的内力与变形满足材料力学的要求。

3.3 质点运动差分方程

质点的运动满足牛顿第二定律：

(7)

其中质点受到的外力主要包括微风激励力和防振锤对导线的作用力，内力则是通过单元纯变形求得的。因此，质点α的外力向量为

(8)

图4 单元集中力的等效

分配到单元端节点的等效集中外力向量分别为：

(9)

(10)

导线受到微风激励力为均布力，其等效力求解一般采用积分法，根据均布外力的作用范围和分布形式积分后分配到构件两端的质点上，如图5所示，作用于单元AB上的均布荷载为q(x)，单元长度为lAB。

图5 单元均布力的等效

根据静力平衡原理计算均布荷载的等效质点外力时，其表示式为：

(11)

(12)

式中x为积分段dx至A端的距离。

通过单元的虚拟运动并结合坐标变换可求得其内力和变形，虚拟运动包括正向运动和逆向运动，如图6、图7所示，其中eAB、eA′B′分别为运动前后单元的方向向量，lAB、lA′B′为运动前后单元的长度，ΔxA、ΔxB为单元两端节点的平动运动向量，Δθ为单元转角，ΔuB为单元B节点不考虑平动的运动向量。

图6 单元逆向运动

图7 单元正向运动

单元从AB状态运动到A′B′状态时，该时刻的内力

(13)

式中：σ为单元杆件的应力；E为杆件的弹性模量；S为杆件的截面面积。

(14)

式中dn为第n时间段Δt内的位移。

考虑阻尼的作用，则式(14)可写为

(15)

式中μ为阻尼系数。

4 导线微风振动分析

为验证FPM的适用性，先利用该方法对经典算例进行分析，采用Fortran编程，计算流程如图8所示。

图8 计算流程

4.1 算例分析

以文献[10]中的经典算例为研究对象，验算FPM的准确性。如图9所示，设直径为28.143 mm的导线，单位长度质量为1.628 kg/m，长为366 m，导线运行张力为28.024 kN。导线在竖向受幅值为100 N/366 m的均布正弦荷载qsin(ωt)作用，导线单位长度阻尼系数为0.1 N·s/m2，荷载作用的频率f=3.047 Hz。

图9 导线的计算模型

导线自振频率

(16)

式中j为导线自振模态阶数。

经计算，导线的第17阶自振频率与外荷载的加载频率相同，根据结构动力学理论可知导线会产生共振。为验证上述结论，采用FPM计算得到导线跨中质点在0～2 000 s和0～20 s的振动位移曲线，如图10、图11所示。

图10 跨中质点的振动位移曲线(0～2 000 s)

图11 跨中质点的振动位移曲线(0～20 s)

由图10、图11可知，导线振动过程中会经历一段不稳定振动期后进入稳定振动阶段，稳定振动阶段的时程曲线如图12所示。

图12 跨中点稳定振动时程曲线

导线达到稳定振动状态后，其振动频率f=3.047 Hz，验证了结构动力学的共振理论。

导线达到振动稳定后，取某一时刻跨中质点达到振动峰值时的各质点位移，绘制成图13所示的导线各点振幅图。通过该振动形态可清楚地看到整跨导线共17个波峰和波谷，与其17阶自振模态对应，验证了文献[10]的结论，同时也说明FPM的正确性。

图13 导线各点振幅

当外部输入荷载的频率与导线自振频率不一致时(如4 Hz)，可观察到如图14所示的行波效应。

图14 质点振动的行波效应

4.2 导线微风振动响应计算

本节以LGJ-500/450型导线为例，采用FPM计算不同工况下导线的微风振动响应。导线两端受水平张力T作用，档距L为300 m，其主要物理参数见表1。

表1 导线特性参数

取1 m长导线为一个计算单元，分别采用FPM和FEM对表2中的6种工况进行计算分析，其中FPM取计算时间步长h=0.000 1 s，FEM采用ANSYS软件计算，时间步长取h=0.001 s。施加微风激励前需给导线以初始扰动，本文中给导线每个质点施加100 N的初始荷载，使导线产生初始速度和位移。采用FPM时，将单元质量集中于质点处，并给质点施加向下的恒定重力加速度来考虑重力的影响；采用FEM时，在ANSYS中通过给导线施加向下的恒定重力加速度场来考虑导线的自重作用。

表2 导线微风振动分析工况

上述6种工况下，在导线跨中质点振动达到稳定后，分别列出2种计算方法得到的最大振动位移，见表3。

表3 导线微风振动响应计算结果

图15、图16分别为2种方法计算得到的风速v为2 m/s时跨中质点的位移时程曲线。

图15 采用FPM得到的跨中质点位移时程曲线(v=2 m/s)

图16 采用FEM得到的跨中质点位移时程曲线(v=2 m/s)

采用FPM和FEM计算上述6个工况所需时间见表4。

表4 FPM与FEM计算时间对比

由以上计算结果对比可见，2种方法得到的计算结果几乎一致，说明FPM可以用于导线的微风振动计算。同时，相比于FEM，FPM具有更高的计算效率，计算同样工况所需时间仅为FEM的0.6%。

4.3 导线微风振动影响因素分析

本节主要研究档距、风速及运行张力对导线微风振动响应的影响。

4.3.1 风速对导线微风振动的影响

分别采用EBM和FPM计算得到不同风速下导线微风振动响应振幅结果，如图17所示。

图17 不同风速下导线微风振动响应振幅

从图7的对比结果可知，采用FPM与EBM得到了十分接近的计算结果，也进一步验证了FPM的准确性。对比不同风速下的振动可知，风速越大导线的微风振动响应越小。

4.3.2 档距对导线微风振动的影响

4.2节中的工况均是300 m档距，本节以风速3.5 m/s的工况为例，采用FEM和FPM来研究不同档距下导线的微风振动响应，计算结果如图18所示。

图18 不同档距下导线微风振动响应振幅

从能量平衡的角度，风传递给导线的能量与导线自身消耗的能量都是导线长度的函数，两者作用相互抵消。对比FPM和FEM的计算结果可知，不同档距下导线的微风振动响应几乎相同，可以忽略档距的影响，这也验证了能量平衡的结论。

4.3.3 张力对导线微风振动的影响

4.2节中的工况均是在固定张力下进行分析，本节取档距300 m、风速2.5 m/s的工况，利用FEM和FPM分析导线在运行张力为其拉断力的15%、18%、20%、23%、25%时的微风振动响应，2种方法计算结果如图19所示。

图19 不同张力下导线微风振动响应振幅

由图19可以看出，导线的运行张力越大，其微风振动响应越大，因此实际工程中应控制导线运行张力低于其拉断力的22%。

5 结论

a)FPM计算文献[10]中经典算例与该文献采用有限差分法得到的结论一致，表明FPM可以用于导线动力分析。

b)FPM的计算结果与FEM的计算结果十分接近，且FPM计算用时仅为FEM的0.6%，充分表明了FPM的准确性和高效性。

c)采用单一变量分析不同因素对导线微风振动的影响可知，风速与运行张力对导线微风振动响应有较大影响，而档距的影响可以忽略。