对称轴在二次函数中的妙用试论

钱瑞玲 杨平

摘 要 二次函数是初中数学教学中重要的一环，二次函数的图象是抛物线，是一个轴对称图形，本文就对称轴在二次函数中的应用作如下讲解。

关键词 对称轴;二次函数;作用

中图分类号：G632                                                      文献标识码：A                                                  文章编号：1002-7661（2019）11-0198-01

二次函数的图象是抛物线，它是一个轴对称图形，对称轴是过顶点且平行于y轴的一条直线.对称轴方程有以下几种形式：

例1：抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（-2，0），其部分图象如图1.则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（   ）

分析：根据抛物线的轴对称性可知，抛物线与x轴的两个交点关于直线x=1对称，利用对称轴公式，可得与x轴的另一个交点坐标为（4，0）.

例2：已知二次函数的图象经过点（2，-3），其对称轴是直线x=1，且该图象与x轴两交点之间的距离为4，求这个二次函数的解析式.

分析：因为抛物线与x轴两交点关于对称轴对称，且这两点之间的距离为4，所以可知两交点坐标为（-1，0）（3，0），如图2.可由交点式设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3），再将点（2，-3）代入解析式，求得a的值为1，则函数解析式为.

妙用二、利用对称轴比较函数值的大小.

例3：若，是抛物线上的三个点，则，的大小关系是（   ）。（用“>”连接）

分析：由顶点式可知，抛物线的对称轴是，点A、B在对称轴左侧，点C在对称轴右侧，三个点分布在对称轴两侧，可以利用点C的对称点转化到对称轴左侧，这样三个点都在对称轴同侧，再利用增减性比较函数值的大小.

如图3，点C关于对称轴的对称点是，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，∵-2<-1<0， .

例4向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度关系为，若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间高度最高的是（   ）

A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

分析：先画出草图，如图4，因为此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，所以利用中点公式可求出抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，离对称轴越近的点越高，10离直线x=10.5有0.5个单位，12离直线x=10.5有1.5个单位，因此第10秒炮弹的高度最高.

妙用三：利用对称轴求函数值.

例5：若点均在抛物线上，当时，y=（   ）

分析：如图5，由点A、B的纵坐标相同，横坐标不同可知，点A、B是关于对称轴对称的，因为抛物线的对称轴是y轴，所以互为相反数，则，当时，y=2.

例6：已知二次函数，当自变量x取两个不同的值時，函数值相等，求当自变量x取时的函数值。

分析：如图6，当自变量x取两个不同的值时，函数值相等，说明横坐标是的两个点的纵坐标相同，它们关于对称轴对称，对称轴为直线，而横坐标是的点和抛物线与y轴的交点（0，-3）恰好也关于对称轴对称，所以当自变量x取时的函数值也是-3.