高中数学语言教学中的问题、成因及对策①

黄桂君 田冬军 钟志华

(1.江苏省高邮中学 225600； 2.喀什大学 844008； 3.南通大学 226019)

1 问题提出

数学语言既是数学思维的载体，又是数学思维的具体体现.斯托利亚尔提出:“数学教学也就是数学语言教学”.[1]能否运用恰当、准确的数学语言有逻辑地表达、交流体现了数学素养的高低．可见，学会正确、合理地使用数学语言是数学学习的一项基本而重要的任务.但从高中教学实际情况看，数学语言的教学还存在种种问题．本文结合实例分析高中数学语言教学中存在的问题、成因及对策.

2 主要问题

2.1 书写较随意

在高中数学学习中，由于数学符号的大量出现，许多学生运用数学符号时往往记忆不清晰、书写较随意，丢三落四、张冠李戴．例如，将分段函数写成：

2.2 表述不规范

2.3 意义不了解

如果说前两种问题是数学语言学习中存在的浅层次问题，那么“意义不了解”则是数学语言学习中存在的深层次问题．在数学教学中许多教师往往很少让学生充分经历数学符号所代表的数学概念的形成过程，学生只能靠死记硬背来掌握表示这些数学概念的数学语言，由于记忆不深或经常不用就会出现遗忘或混淆．比如，教学函数概念时，笔者曾经让学生回忆初中函数定义，但一连喊了几个学生都不会说(因为考试不考)，只有极个别学生勉强说个大意．然后要求他们用对应的思想、集合的语言尝试重新阐述函数的定义，[8]学生不预习不看着书就几乎不会说．更让人惊讶的是，许多学生甚至在函数一章学完以后也无法准确地说出函数的概念．笔者曾经做了一个简单的调查，在2016年寒假结束前随机抽取某重点中学高一两个班，要求学生口述并书写初、高中函数的定义，结果每个班约有八成的学生说不出或不能完整地写出函数的定义，更不要提初高中函数概念之间的区别与联系了，但有关函数的题目照做不误.

可见，许多学生对数学语言的理解还仅仅停留在识记性理解和操作性理解的层次，还没有达到意义性理解的层次．[2]

2.4 思维不严谨

没有充分经历数学语言产生的思维过程固然会造成数学语言理解的困难，但仅有思维而思维不严谨同样也会造成数学语言理解和运用的困难．常见的书写证明时漏写条件或以直观代替证明就属于这种现象．比如，有学生在证明“如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱BB1上．求证：直线DE∥平面A1C1F”(2016年江苏第16题一部分)时，经常会出现不写或不写全“DE⊄平面A1C1F”与“A1C1⊂平面A1C1F”这两个条件就直接得到DE∥平面A1C1F的情况．归根结底是学生对直线与平面平行判定定理的理解不深，没有认识到推理必须遵循充足理由律这一逻辑规则．(因为在这些学生看来既然图中已经很清楚了，就没有必要再“啰嗦”了).

2.5 转换不灵活

数学语言教学存在的另一深层次问题是数学语言的表征方式单一、难以灵活地在各种数学语言之间进行转换．数学语言不仅形式多样(通常有符号语言、文字语言和图形语言这三种)，而且同一种数学语言可以采用不同的表达方法．这就容易导致学生难以理解、使用数学语言．比如许多学生一见到“∀x1，x2∈A，则(f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min”这样的问题就发懵．在解答“定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导数f′(x)<0恒成立，且f(4)=1，若f(x+y)≤1，则x2+y2+2x+2y的最小值是多少？”这道题时，不善于进行数学语言之间的转换，不知道要将“定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导数f′(x)<0恒成立”这句话转化为“函数f(x)在(0,+∞)上单调递减”，不能将条件“f(4)=1与f(x+y)≤1”转化为“f(x+y)≤f(4)”这一形式然后再利用性质“函数f(x)在(0,+∞)上单调递减”进一步将“f(x+y)≤f(4)”转化为“x+y≥4”这一新的形式．可见，努力培养学生的数学语言转换能力十分必要.

3 问题成因

3.1 忽视数学符号语言的记忆教学

智力由记忆力、注意力、观察力、想象力、思维力五种因素构成，其中，记忆力是对事物识记和保持的能力，是把关于事物的知识经验铭刻在头脑中，没有记忆，知识就会如过眼烟云、转瞬即逝.心理学研究表明，任何新知识只有建立在已有知识基础上，并纳入其系统之中，才能保证形成新的知识系统．因此，如果没有记忆的参加，我们将无法很好的利用已有知识去学习新知识．在高中，许多学生就是因为忽视数学符号记忆而出现不了解各个概念的符号表示，不了解数学符号的具体意义及在运用数学概念或数学公式时或模棱两可、或张冠李戴等问题.

面状影响因子将多年测土配方数据、野外采样化验数据、土壤普查数据、DEM数据等通过地统计分析与空间链接属性附加的方法，赋予数据后，根据情况应用最大最小值法或均值度法赋予分值。在对面状影响因子赋值时，为了更准确的将因素分值赋予定级单元，本研究考虑了两种方法。

比如在解答“设M={y|y=3-x2}，N={y|y=x2-1}，则M∩N=”这一问题时，常常有学生误认为答案为{1}，究其缘由，学生受初中二次函数思维定势的影响，一看到M={y|y=3-x2}就想到二次函数及其图象，将求M∩N理解为求两条二次曲线的交点，联立解方程，由3-x2=x2-1解得x2=2，代入求得y=1．没有认识到集合M={y|y=3-x2}与N={y|y=x2-1}表示的是y轴上的某个区间，M∩N实质为两个二次函数的值域的交集.

3.2 忽视学生数学表达能力的训练

在人们的潜意识中学数学就是学解题，即做题目.弗来登塔尔认为学数学就是“做数学”，好像学数学就不需要“说数学”．事实上，不仅“做数学”十分重要，“说数学”也十分重要．但现在的学生往往只会“做题目”，而不会“说数学”——数学表达.学生不善于数学表达虽然原因很多，但主要原因还是教师，许多教师压根儿就没有这方面的意识，他们认为高考就考解题、不考概念，在概念教学和数学语言表达训练上多花功夫太不值得．其实，他们忘了磨刀不误砍柴工这一道理，没有真正搞清楚数学语言与数学思维之间的关系，没有认识到数学语言是数学思维的载体和工具，没有数学语言就没有数学思维．结果许多训练就变成了没有真正理解概念以后的亡羊补牢．比如，许多教师讲授函数概念的方法就是先将函数的定义直接很快地投影一下，然后就通过诸如：判断下列对应是否构成从集合A到集合B的函数：

(1)A={x|x是矩形}，B={x|x是圆}，对于任意的x∈A，x→x的外接圆；

(2)A=B=N*，对于任意的x∈A，x→|x-2|；

等大量题目一点一滴、反反复复地弥补学生对函数定义中“两个非空数集”，“A中每一个元素”，“B中有唯一元素”，“从A到B”等关键词理解的缺位．当然，这样做不能说一点效果都没有，但效果肯定很差，充其量只能说是事倍功半．这就像写一个字或画一幅画，如果没有事先的精心构思，而是临时一笔一画反复描涂，那就很容易顾此失彼、很难有效率可言.

3.3 没有充分经历知识的形成过程

记忆固然可以促进数学语言的掌握，但记忆效果往往很有限，而且随着时间推移记忆会逐渐淡忘甚至遗忘．张载认为：“书多阅而好忘者，只因理未精耳．理精，则须记了无去处也．”因此，要真正理解数学语言就必须让学生充分经历数学语言所表征的数学知识的形成过程．目前，很多数学教师的法宝就是“快讲多练”，他们在进行数学知识教学时，很少会带领学生经历数学知识的产生与发展过程，而是像魔术师那样不断变出新概念、新名词让学生无休止地死记硬背，继而没完没了地解题训练．结果学生既不知道为什么要学习，也不知道知识从哪里来、到哪里去，学生完全沦为知识的容器和解题的机器，数学学习变成了枯燥无味、毫无乐趣的苦海．比如学习函数时，学生既不知道初中学了函数高中为什么还要学习函数，也不知道初高中函数概念之间到底有何区别与联系，更不知道函数概念产生与发展的历史，只知道要记住这个规定、那个要点，数学学习最根本的东西——兴趣已经完全堙没在死记硬背和枯燥训练的数学海洋之中.

3.4 不善于运用数学语言进行思维

高中数学课程标准提出让学生学会用数学的思维分析世界，而用数学的思维分析世界最重要的就是要尽可能地用数学语言来分析世界.如果这个问题在义务教育阶段还不突出的话，那么在高中阶段立刻凸显出来，因为高中阶段进行数学思维更多依赖的是数学符号语言而不是文字语言或图形语言．A.Luria指出，“在不具有词语的情况下，人类只能处理那些他们能够直接感知和操作的事物，借助于语言的帮助，他们则可以处理那些并没有直接感知到的事物以及构成了上代人经验的事物，从而就在人类的世界中加入了一个新的维度．”[3]维果斯基也认为，“思维不仅用语言来表达；思维是通过言语才开始产生并存在的．思维和语言在某种程度上用不同于知觉的方式反映现实，两者是开启人类意识本质的钥匙．”[4]由此可见，用数学的思维分析世界首先要学会数学语言，离开数学语言，数学思维就成了“空转的轮子”．认识到这一点，也就不难理解数学语言教学的重要性了.

3.5 数学语言的转换能力比较薄弱

4 解决对策

4.1 加强数学符号语言的记忆教学

虽然我们在数学学习中反对死记硬背，但必要的记忆不可或缺，因为许多数学符号都是数学家早就规定好的并且经过长期使用已得到大家的公认，这些符号非记不可．孔子说过：“日知其所无，月无亡(忘)其所能，可谓好学也已矣”，大家耳熟能详的“学而时习之”、“温故知新”等，可见记忆的重要性．但记忆除了机械记忆外，还有理解记忆.我们反对机械记忆，特别反对死记硬背数学的思维过程、解题过程．在数学语言的学习中虽然机械记忆不可避免，但教师可以充分发挥主观能动性，创造各种巧妙的方法帮助学生在充分理解的基础上进行记忆．比如通过重复、运用变式、借助口诀、理解意义等途径帮助学生加强记忆．比如教学完全平方公式时可编写“首平方又末平方，二倍首末在中央．和的平方加再加，先减后加差平方”这样的口诀，既朗朗上口，又便于记忆；又比如对于指数函数的底数为什么要大于零且不等于1，函数的符号为什么用“f”等概念的记忆，如果能讲出这样规定背后的道理，那么学生就比较容易理解，可以避免死记硬背；再比如通过各种三角公式之间的相互推导理解和记忆三角公式，借助正六边形记忆六个三角函数之间的关系显然要比单纯记忆效果要好得多.

4.2 加强学生数学表达能力的训练

正所谓“学重要的在于说”，即表达.数学表达首先反映了学生数学认识的内在需要．维果斯基认为，“思维和语言之间的关系不是一件事情而是一个过程，是从思维到语言和从语言到思维的连续往复运动．在这个过程中，思维与语言的关系经历了变化，这些变化本身在功能意义上可以被视为一种发展．”[5]这说明思维的运动、成长和发展自始至终都离不开数学语言，数学表达是数学思维的外在表现形式．其次，数学表达又是师生之间、生生之间相互交流与合作的需要．欧拉认为，“无论一个人运用抽象的能力有多强，同时还在头脑中融入了一般的思想，但如果没有书面或口头语言作为帮助，他就不可能取得重大进展．……对于人类来说，语言唯一的目的就是在人类之间相互传递他们的感知．……人类确实需要语言，这是与其他人沟通的需要，同时也是培养、磨练他们自己思想的需要．”[6]再次，数学表达有助于学习者进行自我评价．数学学习需要独立思考，但绝不是闭门造车．由于数学知识的复杂性、综合性，一个人的理解往往会存在一定的片面性甚至错误，而如果能够通过数学表达把自己的理解讲出来，那么就可以通过听者的反应了解和评价自己的理解是否片面或错误．由此可见，在数学教学中教师要充分尊重学生的主体地位，想方设法创设条件让学生畅所欲言，在交流的过程中促进数学理解的深化和数学认识的提高．比如在解决“若关于x的方程sin2x-4cosx+(a-1)=0有解，求实数a的取值范围”这个问题时，甲乙两位学生通过下面的主动表达与交流，不仅学到意想不到的思路和方法，而且提高了数学表达能力，增强了学好数学的自信心.

甲：把x看成自变量，a看成函数，就是要求函数a=1-sin2x+4cosx的值域.

乙：为什么？

甲：方程有一个解x，代入方程就有一个a值出现.

乙：a的值与x的值又不是一个对一个的，我还是不太懂．……

他们来问我，我对乙说，从最简单的想法出发，你怎么考虑？乙说已知条件告诉我们方程有解，我想解方程．我说当然可以呀，动笔试一试.

师：这能说原方程有解吗？

师：怎样才能说明有解呢？

师：很好！问题不是解决了吗？

乙：惊喜！(意外尝试成功)

乙：那甲的解法是为什么？

师：你的解法是最基本的方法．甲是将问题转化为两个函数y=t2+4t(t=cosx∈[-1,1])与y=a的图像有交点的问题.

师：结合图形可以发现a的取值范围的实质就是函数y=t2+4t(t∈[-1,1])的函数值的取值范围，也就是甲所说的思想方法.

4.3 让学生充分经历知识形成过程

朱熹说过：“诵读者，所以助其思量，常教此心在上面流转．若只是口里读，心理不思量，看如何也记不细．”“读了又思，思了又读，自然有意．若读而不思，而不知其味；思而不读，纵使晓得，终是卼臲不安．……，若读得熟，而思得精，自然心与理一，永远不忘．”可见记忆与思维之间的辩证关系：记忆是思维的基础，思维是记忆的条件．只有思维与记忆协同工作，在记忆基础上理解，在思维参与下记忆，才能“心与理一，永远不忘”．因此，要想让学生长期、牢记地记住所学的知识，就必须让学生在深入思考的基础上真正理解．具体来说，就是要让学生充分经历数学知识产生、发展过程，知道知识从哪里来，到哪里去.比如，对函数概念的学习，学生如果充分了解函数概念的产生与发展历史，就能厘清初高中函数概念之间的区别与联系，就能消除“既然初中已经学了函数，高中为什么还要再学函数”的疑惑，就不需要死记硬背而可以通过理解记忆掌握函数概念．再比如三角函数概念的学习，如果直接给出定义，学生往往不能理解这样定义的道理，只能采取死记硬背的办法来学习．如果让学生认识到现实世界中存在许多圆周运动的现象，为了描述这些圆周运动，需要建立数学模型，这种模型反映的是圆周上的点随转动角度的变化而变化的函数关系，而点的位置又由横、纵坐标表示，这样自然就要研究圆周上点的横纵坐标随转动角度的变化而变化的函数关系，……．经历这样的知识形成过程，学生对三角函数的定义就比较容易理解了.

4.4 培养学生用数学语言思维的习惯

高中数学课程标准提出要让学生学会用数学的眼光观察世界，学会用数学的思维分析世界，学会用数学的语言表达世界．[7]用数学的眼光观察世界，除了从数学的角度观察世界外，更多的是用数学语言把观察的结果表示为数学问题；学会用数学的思维分析世界则是借助数学语言、运用数学方法对数学问题进行数学推理、演算并由此解决数学问题；学会用数学的语言表达世界则是把这些思维过程、思维结果用数学语言表示出来的过程．可见，“三会”中哪一方面都离不开数学语言．正因为如此，在数学教学中教师应努力创造条件培养学生运用数学语言思维的习惯．比如，在概念的教学中，教师应在对一类事物共同本质属性观察的基础上尽可能创造条件让学生经历从文字语言向数学语言转化的过程；在命题的教学中充分引导学生在对图形、图像观察基础上用数学语言描述图形、图像的性质；在数学解题、数学思维的过程中让学生养成讲话准确、书写精炼的习惯，做到能用数学符号解决的问题尽可能采用数学符号，少用甚至不用文字语言．比如，教学函数单调性概念，[8]首先图形语言直观刻画——由左向右看呈上升或下降趋势；然后文字语言定性刻画——函数值随着自变量值的增大而增大或减小；最后符号语言定量刻画——用数学符号语言对图形观察和文字叙述进行形式化．在形式化过程中，教师不是直接向学生呈现定义，而是先提问学生能否由1<2<3<…<99<100，f(1)f(2.3)>…>f(2.9)>f(3)，那么函数f(x)是否还在[1,100]内单调递增？如何确切地进行表述？让学生认识定义函数单调性时一定要对任意两个自变量及其对应的函数值进行比较，从而自然而然地得到“如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1

4.5 加强数学语言转换的训练