引入立体模型提升立体几何教学效果

林妙勇

【摘 要】本文论述利用立方体模型提升立方体几何教学效果的策略，通过利用立体模型演示并渗透空间观念、利用立体模型指导观察几何体并激活解题灵感、动手制作立体模型以深化思维等途径，循序渐进地培养学生的空间思维能力。

【关键词】高中数学 立体几何 立体模型

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2019）02B-0108-02

立体几何是学生从二维空间向三维空间的跨越与延伸，它对学生的空间想象能力、图像论证能力及空间演绎能力提出了更高的要求。立体几何教学是对空间图形的性质、位置关系、数量关系展开的教学，其知识点抽象而细碎，也因此成为学生数学学习上难越的高山。而立体模型有着空间位置关系明确、数学性质表现突出等特点，使得初次接触的学生常常出现想象不出、理解不了等问题。因此在立体几何教学中引入立体模型，可以将抽象、复杂的数量关系及位置关系直观地展现出来，给学生以想象的垫板，降低学习难度，增强立体几何的体验感，以循序渐进的方式培养学生的空间思维，从而更好地推进学生学习进程。

一、利用立体模型演示，渗透空间观念

根据以往的教学经验，如果仅仅凭借教师的口述让学生想象立体几何的位置关系，那么多数学生会出现偏差。因此许多教师将多媒体应用于立体几何教学中，使之相比于口述教学成效有所改观。但多媒体依旧无法将立体几何以平面图形形式呈现，限制了教学效果的提升。立体模型则以其可观、可触的特点帮助学生减小想象偏差，获得更直观的体验，深刻理解立体几何知识。

例如，关于“空间几何体的三视图”的知识讲解，如果只是通过多媒体为学生呈现多彩的几何图形画面，那么学生可能会被初始多彩丰富的图片激起兴趣，但无法使学生体验到由空间到平面的思维转化，也较难使学生形成空间概念。因此笔者在教学这部分知识时选用立体模型代替多媒体教学，以增加学生的直观体验感，锻炼其空间转化的思维。笔者将常见的几何体，如三棱锥、正方体、圆锥体等放置在讲台上，让学生在观察的基础上，通过旋转演示方式不断观察并绘制各个几何体模型的正视图、侧视图及俯视图。除了规则的几何体外，笔者还增加了难度，让学生利用发放的积木堆积成各种不规则的立体模型，通过转换视角的多维观察，体验立体到平面的思维转化过程，把握绘制立体几何三视图的技巧。除此之外，笔者还将立体模型应用于立体几何性质的分析中。例如，在讲解平面的基本性质时可借用正方体模型，通过在 8 个顶点中任取不在同一条直线上的 3 个点，以此演示平面的基本性质三。或者让学生任选一条棱，并找出棱外的一个顶点，观察两者的位置关系，以此来演示推论一。

立体模型除了能演示上面几种立体几何概念与性质，也可以演示其他概念，它在教学演示及示范中具有很大的应用价值。由此教师可拓展立体模型在此教学领域的应用范围，以此增强学生的直观体验，培养学生的空间观念及想象力。

二、利用立体模型指导观察，激活解题灵感

高中立体几何的题目基本都是围绕立体几何的特性来编制的，尤其是几类基本的立体几何模型，更是核心解题策略的钥匙。高中立体几何运用最多的立方体模型为正方体模型和三棱锥模型，学生若能灵活运用这两种模型，那么就可化解许多难题。因此，教师在教学中应指导学生多观察这两种立体模型的特点，多总结归纳，以激活解题灵感。

一般来说，以三棱锥模型设立的题目主要表现在两个方面，一是直接以三棱锥为内容编制的问题。二是以三棱锥为解题切入点的其他类型棱锥的题目。比如，用两个三棱锥构造成四棱锥解决与四棱锥相关的问题。三棱锥可通过增加其数量构造成 n 棱锥，因此三棱锥可以作为解决其他棱锥问题的基础。在此基础上可通过引导学生观察、总结有关三棱锥的结论，以提高解题效率。比如，在已知三棱锥的侧棱与底面的夹角相等时，可推断三棱锥顶点在底面的投影位于底面的外心。

而对于正方体模型，不仅可以借用其来理解点、线、面的位置关系，还可以在题目中套用正方体模型，从而达到快速解答的目的。例如，2006 年的北京高考题目：

平面 α 的斜线 AB 交平面 α 于点 B，过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直，且与平面 α 相交于 C 点，问动点 C 的轨迹是什么？

此时引入正方体模型，我们可以构造一个边长为 1 的正方体，并建立空间直角坐标系，令 A 为点 A（0，0，1），则 B 为点 B（1，1，0）。设平面 α 为平面 xOy，点 C 为平面 xOy 上任意一点 C（x，y，0），那么根据题意，得向量 AB=（1，1，-1），向量 AC=（x，y，-1），且向量 AB×向量 AC=0，得出 x+y+1=0，从而推出 C 的轨迹为平面 α 内的一条直线。

正方体模型被称为万能模型，而三棱锥是棱锥类型题目的解题基础。因此教师在开展立体几何教学中要引导学生多观察、多总结，合理运用正方体、三棱锥模型特性，从而掌握快速找到解题灵感的秘诀。

三、利用立体模型空间演绎，辨析位置关系

由平面二维空间向立体的三维空间转换时，学生常常想当然地将平面几何中的结论直接引申到空间几何中，从而导致错误的判断。这时借助立体模型，如正方体模型对学生混淆的命题加以空间演绎，就可以准确而明朗展开辨析。

为了让学生清晰地认识空间几何中线和面之间的相互位置关系，笔者特意准备了一些筷子和小纸板，以构造实物模型，引导学生观察思考。比如在某一课堂上，笔者提问：“同学们，按照以前学过的平面几何知识，当两条直线分别垂直另一条直线时，这两条直线是什么位置关系呢？”“平行关系。”同学们异口同声地回答说。笔者继续问道：“假设是在三维空间里，那么这个结论还成立吗？”“成立。”学生不假思索地回答道。随即，笔者把筷子放在讲桌上，先将三根筷子围成一个三角形，再将另一根筷子垂直放在三角形的其中一个顶点上。提问：“现在立着的这根筷子垂直于三角形的兩条边，但是你们能说这两条边相互平行吗？”学生都沉默不语。“对于这个三角形的三个顶点来说，任何一条垂直线都能得出刚才的结论。同样，我能把筷子组成的三角形换成这个纸板，在三维空间里，这条线是垂直于纸板这个平面的，可以得到的结论就是这条线垂直于纸板平面内的任意一条直线。”学生此时才露出了若有所思的表情。笔者接着说道：“在平面几何中，只存在二维平面关系，两条线能够组成二维平面。而在立体几何当中，存在三维空间关系，需要一条线以及一个平面才能得到比较严谨的位置关系。所以同学们，现在你们明白了吗？”“明白啦。”学生此时异口同声地回答。

运用实物模型开展空间演绎，打破了学生空间想象力差的局限，让学生在实物模型的直观、清晰的演绎中辨认二维平面与三维立体中点线面位置关系的差异性，培养学生严谨的数学思维和空间思维。

四、動手制作立体模型，深化思维能力

立体几何知识普遍有一定的抽象性，学生通过空间想象去描述立体几何中蕴含的空间关系时，常常会出现遗漏或偏差甚至是错误。因此在学习立体几何时引导学生去动手操作，制作立体模型，在动手动脑中将抽象的数学关系以直观形象的方式呈现在眼前，降低学习难度，提高解题效率。

在教学中笔者常听到学生抱怨说：“我想象不出来，为什么是这样的呢？”在抱怨中，学生学习立体几何的热情会逐渐消失。因此笔者尝试站在学生的角度帮助学生克服这个问题，笔者回想起当初自己在学习立体几何时，空间想象力也是十分匮乏，于是就每天花一些时间制作在题目中遇到的立体模型，通过演绎题目中所描述的位置关系、数量关系来理解题目。于是，课上当学生在为题目“有长方体 ABCD-A1B1C1D1，其中 AB=5，BC=3，AA1=4，请计算 AC 与 BD1 所成角的大小”而苦恼时，笔者为学生分发细铅丝和工具，说：“大家运用手中的材料将题目中的长方体模型制作出来，并标明题目中的数量关系。”学生通过动手制作模型、标明题目条件，学生很快地清楚发现 AC 与 BD1 为异面角。如何求这个异面角的大小呢？学生陷入了思考。笔者提示说：“有没有什么办法将所求角变成同面角呢？”学生在摆弄模型中发现，若将两个长方体对接在一起，就可以将前一个长方体的 BD1 与后一个长方体的 AC 构成同面角，而且这两个长方体的 AC 相互平行，构造出来的同面角与所求角大小相同。此时就可以通过三角形的三边长求得夹角的大小。

课堂上制作的模型给学生找到了攀登立体几何大山的拐杖。课后学生常常通过自主制作模型去明确、观察题目中所描述的条件，并以此寻找解题的突破点。在制作模型中潜移默化地深化了学生的空间思维，慢慢地，学生对各种立体几何的空间关系了然于胸，逐步达到丢了“拐杖”也能走的境界。

高中数学立体几何教学是培养学生空间想象能力、逻辑推演能力的重要阶段，因此要积极将立体模型这一教学工具引入到立体几何教学中。从空间概念教学到解题技巧渗透再到自主动手感知中，充分发挥立体模型形象、直观的特点，推进教学进度，提高教学效率，夯实学生三维空间知识学习成果。

【参考文献】

[1]张培培.浅谈高中立体几何的入门学习[J].学周刊（C版），2014（12）

[2]邵鹏菲.立体几何课堂教学中模型应用的思考和探索[J].实践与反思，2014（09）

（责编 卢建龙）