指数运算中常用的方法与技巧

杜红全

(甘肃省康县教育局教研室 746500)

在指数运算中，若能根据题目的结构特征选择适当的方法，则可以简化运算.下面举例说明.

一、利用整体代换

二、把小数化为分数、把带分数化为假分数

若底数(或指数)是小数时，则可化为分数；若底数是带分数时，则可化为假分数.

三、利用或

在指数运算中，把指数式进行因式分解或约分，可以使运算简化.

分析根据本题特点，应注意到

x-1=(x1/3)3-13=(x1/3-1)(x2/3+x1/3+1),

x+1=(x1/3)3+13=(x1/3+1)(x2/3-x1/3+1),

x-x1/3=x1/3[(x1/3)2-1]=x1/3(x1/3+1)(x1/3-1).

=x1/3-1+x2/3-x1/3+1-x2/3-x1/3=-x1/3.

评注解此类问题，还要注意运用指数运算中的乘法公式：

(a1/2+b1/2)(a1/2-b1/2)=a-b；(a1/2±b1/2)2=a±2a1/2b1/2+b；

(a1/3±b1/3)(a2/3∓a1/3b1/3+b2/3)=a±b.

四、利用根式与分数指数幂的互化

若底数是根式时，一般将根式统一写成分数指数幂的形式，然后进行运算化简；有时也可根据式子的结构特点把分数指数幂化为根式较为方便.

解原式=(a3/2·a3/2)1/3·[(a-5)-1/2·(a-1/2)13]1/2=(a0)1/3·(a5/2·a-13/2)1/2=(a-4)1/2=a-2.

五、利用ap·a-p=1(a≠0,p是正整数)

在指数运算中，若灵活运用ap·a-p=1进行代换，则可以化难为易.

=a-1/2-a-1/2=0.

六、利用乘法公式

学习了负整数指数幂和分数指数幂以后，应习惯对负整数指数幂和分数指数幂直接应用乘法公式来计算，例如a-2-b-2=(a-1-b-1)(a-1+b-1)，a2-2+a-2=(a-a-1)2，a-b=(a1/2+b1/2)(a1/2-b1/2)等.

七、利用

利用这个性质，颠倒底数的分子分母的位置，直接把负指数化为正指数，反之亦然.

八、利用换元法

解设m1/3=x，m-1/3=y，则xy=1.