基于有限元法思想的经济管理学研究方法的思考

向芃桔

[摘 要]在有限元法理论的基础上，通过扎根理论建立有限元函数求解经济、管理学问题的思想，能够降低传统经济、管理研究方法的预测误差。本文将工科和数学学科有限元方法抽象为人文社科的研究方法，与传统研究方法相比，该方法能够更全面地考虑求解问题的影响因素且拟合出的结果更加接近实际、预测更加精确。

[关键词]有限元法;扎根理论;研究方法;管理学

doi：10.3969/j.issn.1673 - 0194.2019.12.052

[中图分类号]F224[文献标识码]A[文章编号]1673-0194（2019）12-0-02

0     引 言

现代工业生产管理通过使用计算机有效提高了工作的效率和质量。有限元法自1943年被提出且与计算机结合后，因其在复杂工程问题上的高精确度和适应能力被广泛应用于物理学、传热学、流体力学等各个领域。同时，有限元法的思想也可以应用于经济和管理学科研究。传统的经济、管理学科研究方法大多为演绎归纳、理论实证、定量定性，是一种自上而下的研究理论。随着时代的发展，自下而上的研究方法被越来越多地应用在企业中，提高了研究的准确性，但仍有误差。随着AI时代的到来，找到一种研究方法让计算机与经济、管理研究结合在一起，能够提高结果的精确性。

1     有限元法概论

有限元法（FEA，Finite Element Analysis）是利用数学近似的方法模拟真实的物理系统，并将求解域划分为许多彼此之间仅靠节点连接的子域，该子域称为有限元。根据不同学科分析，推导出有限元内的方程近似解，再通过求解总域需要满足的条件将其组成整个结构的系统方程，得到方程的解。由于大多数实际的问题难以得到精确的解，而有限元不仅能够计算结果，且计算精度高，适用于各种复杂的情况，被各工程领域广泛应用。有限元法是在差分法和变分法的基础上发展起来的一种数值处理方法，将差分法对求解域的离散和里兹法的选择试探函数相结合。有限元法与里兹法等同，都在有限单元中利用变分原理建立函数，但有限元法因为采用了离散处理使问题变得更加简单和更容易被处理。

2     研究问题

笔者认为各个学科的理论知识都是一个有机整体，他们是相互关联的，存在相同的逻辑。例如，在经济学中，规模经济指一个企业规模达到一定水平后，通过各生产要素有机结合将产生“1+1>2”的效果，生产越多分摊到各商品上的成本就越少。在不考虑“规模不经济”的情况下，由简单的几何知识便可以理解规模经济的概念。企业犹如一个长方体，规模有多大，长方体就有多大，而长方体的容积就是其生产的效益。当企业增加规模时，就如同投入资源增加长方体的表面积（即成本），表面积以平方的速度投入，容积（即效益）以立方的速度增加。因此，在解决经济管理复杂问题时，相关单位可以用其他思维来思考。如果把经济、管理问题求解域看作一个以无数的因素（环境、经济、政治、人文等）构成的一个极其不规则的立方体，那么在概问题将根本无法求解，由于其不规则的“形状”以及复杂的相互作用关系，导致相关单位根本没有一个经济、管理理论或数学方法能够解决该问题。但如果将这个不规则的立方体划分为无数个易于解决的有限单元，仅靠各自的节点相互连接作用共同影响问题的最终结论，并在有限单元中建立量化的单一变量函数关系，根据所需要解决问题的特殊性质建立合适的变量与节点的关系，从而得到问题的解，大大降低待解决问题的难度。

3     有限元研究法与动态规划法及假设演绎法

在以往的管理學研究中，动态规划法和有限元法有相似之处，但差异较大，方向也截然不同。动态规划法是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法。该方法将问题分为一系列单阶级问题，通过对一个问题进行求解来支持下一个问题。当一个问题解决后，该问题与下一个问题再无联系，这样一级一级，往上递推得到的最后一个问题就是总问题的解。动态规划法虽然划分了问题，但与有限元法思想解决经济管理问题的不同之处在于有限元法划分不包含但相互作用的有限单元。有限元研究法分析经济、管理领域中的特色在于数据的多样性和任意性，由大量甚至是无限的因素共同影响最终的结论并建立拟合出与实际基本一致的复合函数，而非单一的几个关键因素决定最终问题的结论。

为了更进一步说明有限元法处理经济、管理问题的优越性，笔者在本文中以几何图形的方式进行直观描述。假设一个问题被一个不规则的多边形的求解域所影响，那么有限元法就是全部覆盖整个不规则图形并将该求解域分解成很多不规则的、容易解决的单一要素或已有结论综合要素的有限单元图形。当决策这个问题时，所考虑的是求出整个求解域的解，而假设演绎只是取了一些在求解域中面积较大且没有完全覆盖的关键因素，同时假设演绎被极大的人为因素和已有的研究结论所影响，研究者思想和思维受到禁锢无法保证研究者思维的开放和敏锐。一旦之前研究的结论有误，就会影响研究者对问题的深入研究。

4     有限元法下的经济、管理学研究方法的应用

4.1   有限元思想在经济、管理学中的研究步骤

有限元法的典型分析步骤共有6步。第一步是离散化，将各个复杂的系统分割成等价的有限元系统;第二步是选择位移模型，假设位移函数近似地表达各有限元节点在最小位能原理下的真实位移发布;第三步是用变分原理推导单元矩阵，并将节点位移与节点力联系起来;第四步是整合离散化的各有限单元;第五步是求解位移矢量;第六步是由节点位移计算出各有单元的应力和应变。

笔者认为，有限元法思想在经济管理学研究中应用，指每一个社会上所遇到的经济或者管理问题都可以看作一个函数。这个函数是极其精确的，同时也是极其复杂和不可直接拟合的，具有无数个因变量，且变量之间也有对应的函数关系。研究人员通过简单分析就能得到该问题的约束条件，但无法得到该函数的映射关系（或者说总问题与各单一要素的对应关系）。因此，解析出该函数需要参考有限元法解决问题的步骤，首先，以该总问题为中心划出该问题的求解域，求解域越大越好，涉及经济、法律、政策、生活、人文、环境、心情和天气等各大领域;其次，将求解域划分为大量的可求解的单一要素或已有结论的综合要素的有限单元;最后，在各有限单元里建立函数且通过求解总求解域的约束条件，将各有限单元通过节点整合在一起得出总的映射关系。

4.2   扎根理论构建有限单元映射

笔者认为可以借助“扎根理论”来划分有限单元并构建有限单元函数。扎根理论是一种由下而上的研究方法，倡导在数据的基础上归纳总结并发展出理论，代替了假设演绎法从现有理论中总结理论的方式，避免了以往数据或已有结论对研究者的影响。扎根理论是理论性研究和经验性研究之间的桥梁，所有数据均为研究对象（文献资料、研究者自身思路观点、个人阅历等）。在不断收集资料、走访调查并分析资料的过程中，将思路撰写成备忘录和相关概念，然后再将备忘录和概念排序，不断将撰写好的备忘录、收集的资料和形成的概念相互联系得出結论。同样，笔者认为可以通过这种方法，以中心问题出发收集资料，不断调查形成大量有关联的有限单元问题，例如我在哪儿，我为什么要调查这个因素，这个因素会影响什么，发生了些什么，怎么发生的，为什么会发生等。通过一般的问题会刺激研究者去想更加复杂和相关问题，而这些问题都可以说是有限单元，虽然他们看似没有太大关联，但实则以令人无法察觉的微妙关系存在。当分成了有限单元个问题后，研究者便容易建立起单一要素的映射关系并将各个未知量相互靠拢，以公共作用边将彼此通过犹如“力传递”一样的节点传递并相互连接在一起。

5     结 语

有限元法是一门被广泛应用于工科和工程中的一种求解的近似方法。从最初的固体力学领域拓展到电磁学、声学、机械传动等各大领域，从简单的静力学发展到动态分析、非线性分析等复杂问题求解，已成为最有效的方法之一。有限元的思想应用于经济、管理学科的内容还较少，其精确的求解思想可以帮助经济、管理研究者更加全面和准确地研究问题。随着AI技术的发展，可以将分割求解域有限元、收集资料、调查和建立有限元函数等工作交给计算机，通过细分求解域得出更加准确的映射函数关系。

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