亲历过程 旨在深度理解

李紫婷

摘 要：数学理解是数学课程学习的教育目标之一，是希望学生在掌握数学知识的基础上，能从数学角度去思考问题、理解问题、解决问题，进而锻炼思维、只有深刻理解了知识，把握其本质属性，才具有迁移和应用知识的活性。数学理解是一切数学思维的基石，教学中教师可以通过多种方式促进学生的数学理解，教师应设计益于学生思考的活动，帮助学生积累思维经验，感悟数学思想。

关键词：小学数学;代数思想;数学理解

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在实施建议中指出：“数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的联系。学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固深化。”笔者于2008年和2017年分别执教了“字母表示数”这一节研究课，先后两次教学，由于教学目标的定位不同、教材的处理和教学思路的设计不同，教学效果也随之不同。本文试图通过两次教学实践的课堂变化来思考如何促进学生深度理解字母表示数和数量关系的作用和意义。

2008年，笔者第一次执教的基本思路为：首先以失物招领有a元的钱包的生活情境导入，引入字母表示数;然后，体验探究，猜老师年龄和求摆三角形的小棒数，感悟用含有字母的式子表示数量关系和计算公式;自学掌握简写规则;最后总结提升，用数青蛙儿歌和数学日记练习来巩固拓展。教学重点在于不断地强化字母表示数和数量关系的方法，课后反馈中学生会用字母表示一般的数，但对用字母表示数量关系仍不知所以，学生对字母表示数“符号化”的实质存在理解障碍。

2017年，学校课题研究中，笔者第二次执教，具体、生动的数学活动依然在，丰富的体验依然有，但重在让学生经历和体验用字母表示数的代数思想和价值，重在深化学生对字母表示数的方法的理解过程，培养学生的数感、符号化思想、推理能力及建模思想。

【第二次执教】

活动一：数青蛙（感受代数思想）

（课件出示一个池塘的图片和数青蛙的儿歌，出示的青蛙越来越多，速度越来越快，学生出现难以表达的状况时）

师：可以用一句话概括这首数青蛙儿歌吗？课件出示：（  ）只青蛙（  ）张嘴，（  ）只眼睛（  ）条腿。

生1：无数只青蛙无数张嘴，很多只眼睛很多条腿。（生笑）

生2：n只青蛙n张嘴，n只眼睛n条腿。

师：这种方法好吗？

学生在评价中明白：在同一个问题中，一个字母只能代表

生3：a只青蛙a张嘴，b只眼睛c条腿。

师：这里也有数学规律，就是青蛙的眼睛数、腿数与只数的倍数关系，知道b是表示多少个a吗？c又是表示多少个a？

生3：b表示2a，c表示4a。（教师板书：b 2a，c 4a）

师：不错，这位同学你来说说？（指生3）

生3：a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿。

师：我非常欣赏大家能大胆地亮出自己的见解，能不能说说你们的想法？

生2：因为青蛙的只数、嘴的张数、眼睛只数和腿的条数都是不确定的，我就都用字母来表示。

生3：我发现这里面有一定的规律，青蛙的只数和嘴的张数是一样的，而眼睛的只数是青蛙只数的2倍，腿的条数是青蛙只数的4倍。

师：哪种方法能让我们更清楚地看出数青蛙儿歌中的数量关系？

生4：a只青蛙a张嘴，2a只眼睛4a条腿。

师：看来用字母可以表示数，也可以表示倍数关系。

课件显示：池塘里的青蛙换成鸭子。（  ）只鸭子（  ）张嘴，（  ）只眼睛（  ）条腿。

师：你们都会读这首数鸭子歌吗？比一比，哪组最快用一句话概括这首鸭子歌？

……

活动二：猜年龄（体验代数价值）

（一）用字母表示不确定的数

师：我们玩个猜年龄游戏，我有一个邻居叫莉莉，她几岁了？

生：没法猜。

师：可以用什么符号来表示莉莉的年龄？（学生说出不同的字母、符号。）

师：同学们说的表示方式很多，对于一个不确定的数量我们通常用字母来表示。（板书课题）

师：那莉莉的年龄我们用a来表示。我还有邻居叫明明，怎么表示他的年龄呢？

生：b岁。

师：能不能还用a岁来表示？

生：不能，重复了。

师：这里我们应该用不同的字母表示不同的数。如果明明比莉莉大6岁，怎样表示明明的年龄？

生：（a+6）岁。

师：我们比较一下，b和（a+6）哪个更好？为什么？

生：a+6表示得更清楚，更容易看出明明比莉莉大6岁。

（二）感受字母a的取值范围

师：当莉莉a岁时，明明是（a+6）岁。那么，a可以表示多少岁呢？莉莉10岁时，明明是16岁;莉莉100岁时，明明是106岁;莉莉200岁时……

生：哇！怎么可能。（众生笑）

师：为什么笑？

生1：目前来说，人不可能活到200岁。

生2：这里的字母a不能表示200。

師：这位同学说对了，a在表示人的年龄时，就要有一定的范围。看来，我们用字母表示数，有的时候可以表示任意的数，有时会表示有一定范围的数。

（三）用字母表示数量关系

师：如果笑笑的年龄是莉莉的4倍，笑笑的年龄可以怎样表示呢？

生：（a×4）岁。

师：这三人谁的年龄最大？谁的年龄最小？跟你小组里的同学讨论一下。

生1：莉莉是最小的，明明年龄最大。

生2：好像不一定，有时候明明大，有时候笑笑大。

生3：莉莉2岁时，笑笑和明明一样大。

师：看来答案不确定，用字母表示他们的年龄就充满了变化。

活动三：魔术盒的秘密（感受代数思维）

师：我们玩个魔术，如果我在魔术盒的左边输入一个数，经过魔力变化后会在右边形成另外一个数，我们试一试，谁来报几个数……

（生分别报了3、10、7，变化后分别是7、21、15。）

师：（学生报第三或第四个数时）刚才我还没有经过魔力变化，有些同学已经说出魔力变化后的数了，难道你们发现了其中的奥秘了么？它的奥秘是什么？

生：原来的数的2倍再加1就可以得到变化后的数了。

师：你能不能用一个式子概括出这样的关系？

生：我们可以用2x+1。

师：对，2x+1还可以表示数量关系。x是30时，2x+1也可以表示具体的数。

【启示与思考】

一、亲历过程积累思维经验，促进深度理解

郑毓信教授说：“数学核心素养的基本涵义就在于，我们应当通过数学教学帮助学生学会思维，并能使他们逐步学会想得更清晰、更深入、更全面、更合理。”数学的深度理解终归是思维的活动，核心素养下的课堂教学应关注学生思维的发展，教学过程应引导学生亲历数学活动积累思维经验。两次执教都有猜年龄的活动，由第一次执教的猜老师年龄改变为让学生猜莉莉、明明和笑笑三人的年龄，从字母可以表示数到表示数量关系，由易到难，逐步深入，顺应学生的思维规律。笔者不断地带领学生经历与体验字母表示数的现实需要，并有意识地应用字母解决实际生活中的问题。让学生交流自己的想法，探讨字母分别表示什么，字母所表示的数在实际情况中的取值范围。学生充分发表见解，在观点辩论、思维碰撞经历知识形成的过程中笔者顺势捕捉课堂生成加深对问题本质的理解。接着，笔者设计了“比较三人年龄大小”的学习活动，让学生在思考中自发地进行“代入求值”，充分体会到随着莉莉年龄的变化，明明和笑笑的年龄也随之变化。学生亲历这一认知过程感受到用字母表示数的简捷方便，也充分体验到了从算术思想到方程思想的转变。这样重视学生经历和体验过程的教学，积累了学生理解字母表示数的思维经验，順利地构建从数字表示、语言概括到符号语言的转换流程，建立初步的符号感，完成了学生从算术思维向代数思维的转变，直接促进了学生的深度学习、深度理解。

二、引领学生感悟代数思想，助力深度理解

第二次执教从学生的认知、情感发展角度，从思维能力的形成角度设计了层次清晰的学习体验活动。数青蛙活动中笔者引导学生思考与分析：a只青蛙a张嘴，b只眼睛c条腿，让学生充分理解这样的表示方法，虽然都是用字母表示数，但无法表示出其中的数量关系，从而实现语言概括到字母表示的对比、过渡和加深，还让学生进一步体验符号语言的概括性和优越性，体会了字母表示数的代数价值。接着，让学生比一比谁能最快用一句话概括念不完的鸭子歌。学生带着竞赛的意识在新的素材中自己发现问题，自己解决问题，从中再次切身体验数学中字母表示数的奥妙。这样设计符合学生的认知特点，使他们进行自主探究与合作交流，亲自体验规律的形成与论证过程，不断加深学生对字母表示数的方法的理解。

魔术盒本身就是蕴含函数思想的一个载体，学生对探寻魔术盒的奥秘充满了向往，对魔术盒中的数在多媒体课件中发生的变化进行记录，借助直观的数据记录，学生很自然地去思考魔力在哪。让学生在玩中探索、验证魔术盒奥秘的过程，其实就是学生在经历思考不断探究数字入与出之间的对应关系中，提炼出始终不变的数量关系，进一步体会到用字母表示数的简单易行。具有思维性的数学魔术盒游戏让学生心中有“数”，玩中有“学”，深深体会到代数的魅力，理解代数的价值：“数学就是在研究世界不变的关系”“用字母表示可以把生活现象变简单”等，学生感受到的是深入理解数学的过程，是一种代数思想美妙的呈现形式。

参考文献：

郑毓信.数学教育视角下的“核心素养”[J].数学教育学报，2016（3）：1-5.

编辑 郭小琴