高中数学解题中逆向思维的运用分析

摘 要：数学是一门非常注重逻辑思维的学科，在高中数学解题过程中，有时候按照常规逻辑思维方式无法顺利解答题目，反而应用逆向思维则可以比较轻松地解答题目。高中生需要在学习和训练中掌握一定的逆向思维解题方法，诸如对数学定义的逆向运用，以及反证法思维等，这样可以多一种解题思路，提高解题效率。

关键词：逆向思维;高中;数学;解题

一、 逆向思维对于数学解题有着极大的重要性

在高中数学解题过程中，大部分学生都习惯于使用正向思维，通过已知条件和方法来解答所遇到的数学题目。大部分情况下，这种方法是适用的。然而在有些时候，通过正向思维方式解答数学题目会很难，甚至感觉到无从下手，面对这种情况，高中生就可以选择通过逆向思维的方式来尝试解答数学题目。

在数学发展史以及科学发展史历程中，逆向思维是一种很重要的思维方式，甚至在某种程度上推动了数学以及科学的发展，通过逆向思维方式解决问题的情况屡见不鲜。对高中生来说，逆向思维是一种很好的思维训练方式，可以拓展思维，从实用的角度来讲，还可以大大提高数学解题的效率。尤其是遇到一些正向思维难以解决的数学问题时，逆向思维通常会有更好的效果。

二、 逆向思维解题的方法探索

高中生在使用逆向思维解题的时候，需要讲究一定的方法和策略，这样可以提高逆向思维解题的针对性和有效性。

（一）

对数学定义的逆向使用

数学定义是数学解题的基础工具，某些数学定义实际具有一定的逆向特点。在遇到一些数学题目的时候，如果发现通过正向思维无法解决问题，则可以考虑逆向使用一些对应的数学定义，则通常可以让题目变得更加简单，从而有利于解决出答案。

【例1】 假设如下三个等式成立①x-y=z;②2x2-2x+z=0;③2y2-2y+z=0。求z的值。

如果按照通常的正向思维，则会选择使用消元法来尝试求值，三个未知数，三个等式，从理论上是可以求出未知数的。然而由于未知数较多，应用消元法来求解会比较烦琐，甚至过程中还容易出错。遇到这种情况，我们不妨考虑逆向思维。通过审题我们发现题目已知条件中的等式②和③分别为：2x2-2x+z=0和2y2-2y+z=0，两个等式除了未知数不同，其余方面完全一致，我们通过对一元二次方程定义的逆向运用，则可以认为x和y就是二元一次方程2a2-2a+b=0的两个解。然后根据韦达定理，则可以得出x+y=1，xy=z/2。結合题目中已知条件①x-y=z，根据（x-y）2=（x+y）2-4xy，将对应的数值代入，可以得到：z2=1-2z，这就变成了一个很简单的一元二次方程，求解可得z=-1±2。

由此可见，通过对数学定义的逆向使用，可以大大简化求解过程，让一些复杂的数学题的解题过程变得更加简单。

（二） 反证法思维

反证法是一种常见的数学证明方法，通常从否定命题的结论入手，将命题结论的否定假设为推理的已知条件，然后通过正确的规范的逻辑推理，得出的结果与已知条件、数学公理法则等相矛盾。如果出现这种矛盾，则说明假设不成立，因此命题从相反的方面获得了证明。通常反证法通过三个步骤进行，第一步是反设，也就是做出与命题求证结论相反的假设;第二步是归谬，也就是将第一步的假设作为条件，然后采用正确规范的逻辑推理得出矛盾的结论;第三步就是结论，说明假设不成立，从而原命题结论是成立的。反证法既可以用于解答题，也可以用于快速解答判断题选择题等题型。

【例2】 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y=（x-1）/（ax-1），其中x∈R且x≠1/a。证明：经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴。

面对这个题目，如果采用正向思维，因为函数有较多未知数，解题过程会比较复杂，对部分学生来说可能感觉到无从下手。如果采用逆向思维，则可以考虑反证法。题目中的结论是“不平行”，那我们就先进行反设，也就是先假设“平行”。然后以“平行”结论来进行逻辑推理，找出与已知条件或者数学公理等矛盾的地方，也就是进行归谬，从而否定假设，从相反角度进行证明。

根据题意，我们假设K1（x1，y1）和K2（x2，y2）是函数y=（x-1）/（ax-1）的函数图像中的两个任意不同的点，则x1≠x2。根据反设，假设直线K1K2与x轴平行，则y1=y2。将这一结果代入到函数y=（x-1）/（ax-1）中，则可以得到（x1-1）/（ax1-1）=（x2-1）/（ax2-1），经过整理可得a（x1-x2）=x1-x2。因为x1≠x2，所以a=1。从反设得出的a=1这一结论与已知条件中的a≠1是矛盾的，因此平行的假设是不成立的，也就是直线K1K2不平行于x轴。

由此可见，通过反证法，对于一些正向思维难以证明的问题，可以更迅速简单地进行证明，而且逻辑上也是符合要求的。

三、 结论

综上所述，我们可以看到逆向思维在高中数学解题中拥有特别的作用。高中生在日常学习和训练中，需要掌握一定的逆向思维方法。在高中数学题目解题中，并非所有的题目都适合使用逆向思维。有些数学题目，使用正向思维可以更快更准确地得出答案，这个时候就应该选择正向思维。逆向思维属于一种解题选择，遇到一些正向思维难以切入或者难以解决的数学题时，逆向思维可以提供一个解题的思路选择，通常会有出其不意的好效果。学生学习逆向思维解题的时候，千万不要看到数学题就尝试用逆向思维，而是要根据实际情况来判断是否合适应用逆向思维。

参考文献：

[1]沈亮.浅谈高中数学教学中学生逆向思维能力的培养[J].数学学习与研究，2018（21）：48.

[2]张兰云.浅析数学教学中对学生逆向思维的培养[J].中学数学，2018（17）：37-38.

[3]王耀茹.数学解题中逆向思维的应用[D].西安：西北大学，2018.

作者简介：

许君林，福建省莆田市，福建省莆田市莆田擢英中学。