“找次品”方法再探究

华有称

[摘 要]找次品的策略包含了逻辑推理思维，教学“找次品”时，不仅要教会学生分析推理的方法，还要让学生学会从基本类型入手，最后总结出一般的计算法则。

[关键词]找次品;三分法;公式

“找次品”是人教版教材五年级下册“数学广角”中的内容，为了有效开展“找次品”教学，笔者特意拜读了《称有形·找有方·用有数——谈“找次品”的方法与提升策略》《我的方法和结论》《用合理的方法导出合适的结论——有关“找次品”问题的思考》三篇文章。后两篇文章专门针对第一篇文章中的错漏提出批评意见。这种围绕同一学科问题展开激烈争辩，引起学术争鸣的做法，值得提倡。令人惋惜的是，这三篇文章都犯了一个致命的错误，那就是出现了结论性的硬伤。同一个问题引起三位教师的争论，而每个人都犯了结论性的错误，这个问题的复杂性和难度可见一斑，而且至今没有达成共识。因此，笔者想继续深入探讨这个问题。

一、从分组实验中注意到“三分法”

在此，笔者先来研究“当次品重于正品如何找次品？”这一问题。按照课本的指示，研究这类问题时，一般做法是先分组，然后称重比较重量大小，最后进行逻辑推理。通过尝试不同的分组方法，选出了最优分组方案。最终证明，“三分法”为最优方案。从教学上看，这个过程可以培养学生观察、分析、推理等综合能力。对于五年级学生来说，采用这样一个较为简单的模型（找次品），非常合适。但是由这样的方式总结出“三分法”为最优方案的结论，这种模型显然并不合适。因为这需要一个合情推理的过程，而此时，归纳思维十分复杂，体现在两个方面。

一是从特殊到一般的归纳需要大量案例。在这里，具体案例是从2个、3个、4个、5个、6个……物品中找到次品，如何分组称量最省事，至少称量几次可以筛选出次品。对于学生来说，每一次实验都很漫长，受到时间限制，很难做完大量实验。

二是在不同个案中“分组”的重要程度不一样，即使列举大量事实，归纳时也很难注意到“分组方法”，特别是“三分法”。具体实验时，多数时候无法采用“三分法”，因为有时物品的数量无法被“三等分”，即使可以“三等分”，“三等分法”也并不是总有必要。简单回顾一下就会发现，除了从8个或9个物品中找次品，需要“三等分”或“尽可能三等分”以外，其余数量都无此必要。正因为如此，许多教师认为“三分法”的提出很突兀。

二、从“三分法”的由来中总结出策略

不得不承认，上述筛选出最优称量方案的过程，本身就是一种思想的进步，但其没有触及问题本质，因而产生争议。当一个人采用某种方案解决问题使问题本身越发复杂时，就应该改弦更张，另找出路。下面我们具体研究一个“找次品”的实例。

比如，从100个零件中称量出超重的一个次品，需要确认的条件有两个：一是明确除了超出标准重量的那一个零件外，其余99个零件一样重;二是有一个可以比较轻重的杠杆。通过杠杆一次次比较轻重。其实每一步称量的方法都一样，以后不断重复第一步。因为有100个物品，所以第一次衡量轻重的方案有很多，如：

称法一：杠杆左右两边各放置50个零件，记作（50，50）。

称法二：杠杆左右各放置40个零件，另20个零件暂时不管，记作（40，40，20）。

下面辨析哪种方案更优。为此，我们详细分析两种分法面临的难题。“称法一”中，杠杆肯定无法平衡，于是断定次品掺杂在较重的50个中;“称法二”中，杠杆可能出现平衡和不平衡两种情况。若平衡，次品必然掺杂在另外20个中;若不平衡，次品掺杂在较重的40个中。因此在“称法一”中，第一次称量后，必须继续在较重的50个零件中继续寻找;“称法二”中，将从20个零件或40个零件中寻找次品。我们有一个惯性思维，那就是数量少的物品比数量多的物品找次品更容易。于是觉得，方案2优于方案1。进一步思考，能不能优化方案2？如杠杆左右两边各放39个，余下22个暂时搁置不理。这样进行分配，显然比前一种分配方案更好。

沿着这个思路进一步思考，于是得出两种“最佳称法”：称法A（33，33，34），称法B（34，34，32）。

以上两种方案的共同点是：第一次称量之后，都可能面临从34个零件中挑拣次品的问题，34成为最小值。稍加总结，可以发现杠杆两端的数量，或者剩余的数量，就是下一次需要重新分配称量的总量。当然，第二次称量的总量越少越好，但是先期称量的数量与放置一旁的数量此消彼长。于是权衡利弊：为了确保第二次称量的总量最少，达到稳定值，于是就将放置在杠杆两端的数量与闲置一旁的数量尽量相等，也即是所谓的“三分法”。由上述讨论不难看出，所谓“分三组”，其实是由杠杆特性决定的，杠杆一次可以比较两份重量，再加上暂搁一旁的一份。这样，零件自然被分成3组，特殊情况下，暂搁一旁的零件数量为0。大胆设想，假若创造一种十字杠杆，可以同时放置四份零件，无疑就要用到“五分法”。

三、从找次品的难度中总结公式

至此，我们探索到了“找次品”的方法，但这还不行，因为直觉告诉我们“零件越少，次品越好找”，最优方案并不一定需要“尽量三分”。那么，方案最佳的必备条件是什么呢？我们已经确认，从2个或3个零件中挑拣次品，只需—次。在此记作：一次（2，3）。

再研究4个零件中挑拣次品的方案。

此时，第一次称量有两种方法：（2，2，0）和（1，1，2）。

无论采用哪种方法，都要考虑从2个零件中找次品的第二次操作。这个已经解决，需要1次称量。于是从4个零件中找次品，需要2次称量。

类似的，从5个零件中找次品，也需要2次称量。

再研究从6个零件中找次品的例子，此时，首次称量有三种方法：（1，1，4），（2，2，2），（3，3，0）。

上述第一种方法，需要考虑从4个中找次品，还需2次。而上述第二、三种方法中，需要从2个或者3个中找次品，还需一次。因此，上述第二、三种方法为最优方案。从6个物品中找次品，最多也需2次称量。

继续推理：

需2次称量：4、5、6、7、8、9个零件;

需3次称量：10、11、12、13…26、27个零件;

需4次称量：28、29、30…80、81个零件。

至于具体方法，比如在35个零件中找次品，只需要保证第二次称量的数量风险控制在27以内即可。比如可以分为（4，4，27）或者（10，10，15），即称一次后，剩下的最大值要进入下一个值域里。

概括起来，对于从n个零件中找次品，当[3k-1

關于次品不知轻重的“找次品”问题更复杂。以4个零件为例（不知次品轻重）：将4个零件进行编号（1，2，3，4）。第一次称量1号和2号，若平衡，则次品藏在3号和4号中;第二次称量2号和3号，若平衡，则次品就为4号零件，若不平衡，次品则确定为3号零件，如果第一次称量1号和2号就不平衡，那么推定次品为1号或者2号其中之一，再将1号和2号分别与3号称量比较，不与3号平衡者为次品。

（责编 黄春香）