巧用等价无穷小量求极限

贾松芳 陈彦恒

【摘要】本文给出了无穷小量和差极限中等價无穷小替换定理，并举例说明它们的应用，对今后学生学习极限是有益的.

【关键词】极限;等价无穷小量;等价替换

【基金项目】该文由重庆市教委科研资助项目（KJ1710254），重庆三峡学院重点项目（14ZD16），重庆三峡学院数学与统计学院教改项目资助.

无穷小量并不是一个很小的数，它是在某个变化过程中极限值为零的函数，能作为无穷小量的数只能是数字0.两个函数在某一变化过程中为等价无穷小量，是说这两个函数在此变化过程中为无穷小量，且此变化过程中两个函数之比的极限值为1;从函数随自变量的变化趋势来说是两个函数趋近于0的速度基本相同.

求极限的方法有多种，包括定义法、分子（母）有理化法、因式分解法以及利用重要极限、洛必达法则、泰勒公式等.这些方法虽然非常实用，可是仍存在不足.比如，洛必达法则，有些复杂函数经过数次求导后，并不会达到简化计算的目的.同样，泰勒公式虽然可以解决一部分极限问题，可是在解题过程中对于大多数学生来说还是不容易掌握的，它对过程的要求过于严格，一环紧接着一环，并且计算量往往比较大.然而利用等价无穷小量替换定理，见文献[1，2]，往往简化某些极限运算的计算过程，给极限求解带来方便.本文归纳总结等价无穷小量在函数和差极限中的应用，对今后极限的学习是有益的.该文所使用数学符号与文献[3]保持一致.

一、无穷小量和差极限中的等价替换

由等价无穷小量的替换定理知，乘除法函数的极限中的无穷小可用相应的等价无穷小替换，无穷小和差极限是否可以同时用等价无穷小替换呢？我们得到下面结论：

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]刘玉莲，傅沛仁，等.数学分析讲义（上册）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3]同济大学数学系.高等数学（上册）（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.