教学过程要以发展学生学科核心素养为重点——以椭圆标准方程的推导为例

广东省韶关市乳源高级中学(512700) 莫绍贵

2017年，教育部制定的新一轮课程改革要发展学生的数学学科六大核心素养是：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.这些核心素养一定是通过具体数学教学内容来发展的，要求任课教师深刻理解、领会教材及教学内容，以教学内容为载体，扎实落实和发展学生的学科核心素养.

那么，一堂课如何发展学生的学科核心素养呢? 本文以选修教材中“椭圆标准方程的推导”为例，谈谈自己的认识，以期抛砖引玉.

根据2003年教育部印发的《普通高中课程方案和课程标准(实验稿)》编写的高中课标选修教材中，无论是人教A版、苏教版还是北师大版的课标教材，对于椭圆标准方程的推导，无一例外都是这样的：

根据椭圆的定义：平面上到两个定点F1(-c,0)，F2(c,0)的距离的和等于常数2a(2a＞2c) 的点的轨迹，设M(x,y) 是椭圆上的任意一点，则由MF1+MF2=2a得：将左边的一个根式移到右边，得将这个等式两边平方，得(x+c)2+y2=4a2-整 理 得a2- cx=再将上式两边平方，得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因为a＞c，所以可令a2- c2=b2(b＞0)得b2x2+a2y2=a2b2，两边同除以a2b2，得(a＞b＞0).

由上述过程可知，椭圆上的点(x,y)都满足上面这个方程，并且满足上面这个方程的点(x,y)都在已知椭圆上.所以得到椭圆的标准方程为

诚然，这种推导方法是一种通法，有利于学生后续学习双曲线、抛物线的标准方程的推导，有利于培养学生的推理运算能力，有利于培养学生形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，有利于引导学生建立数学模型，学会解决“根据条件求动点的轨迹方程”之类的解析几何问题.

用今天新课程改革的眼光来看，教学情境的创设要有利于发展核心素养，教学情境的创设应该考虑引发如下思维过程：思想冲突——悬疑——兴趣——探究——发现.

所以，用课本的方法推导完之后，我们可以再创设下面的系列情境，然后逐步呈现知识的发生和发展过程.

一、如果我们不移项直接平方，可以完成推导吗?

这样让学生体会调整运算方向，选择运算方法可能会使问题的解决变得快捷，同时开阔了学生的视野，活跃了学生的思维.

二、如果不两边平方，有没有其他其他运算可以完成推导呢?

如果再调整运算方向，还可以这样推导：将

观察(1)、(2)的结构特点，容易想到由(1)+(2) 得两边平方得x2+y2+c2+2cx=从而得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，进而令a2-c2=b2(b＞0)，则得b2x2+a2y2=a2b2，从而得到椭圆的标准方程为

可见，再次调整运算方向同样可以完成推导.

在数学运算这一核心素养的形成和发展过程中，要让学生能够进一步发展数学运算能力，能有效借助运算方法解决实际问题，能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯，形成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

三、如果不进行上面类似的运算，我们能否通过建立数学模型来推导?

在现行课标教材中，选修系列教材“椭圆的标准方程”这个教学内容是在学习必修五“数列”之后，如果我们建立“等差数列”模型，也可以这样推导：

将(1)2+(2)2得到：

将(1)2-(2)2得到：所以得代入(3)即得从而得a2-c2x2+a2y2=a2a2-c2，作代换a2-c2=b2(b＞0)即可完成推导.

可见，通过建立等差数列模型，可以快速推导，让学生体会建立数学模型解决问题的甜头，同时形成和发展了学生的数学建模这一核心素养.

四、还可以建立其他数学模型来推导吗?

在必修四，学生学习了三角恒等变换，如果我们建立“三角恒等变换模型”，作下列变换：令

将两式平方相减得

从而得又将(1)两边平方得到将(4) 代入(5) 得(x+c)2+y2=从而得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)，同样作代换a2-c2=b2(b＞0)即可完成推导.

在这里立足于形成和发展学生的建模意识，积累用数学解决实际问题的经验，致力于培养学生在实际情境中发现和提出问题的能力，能够针对问题建立数学模型，能够运用数学知识求解模型，提升应用能力，增强创新意识.

通过巧妙设置和解决上述几个问题，“椭圆的标准方程”这堂课至少可以形成和发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模、直观想象这四个学科核心素养.

在新课程背景下的教学是基于学科核心素养的教学，教学要立足于让学生形成和发展学科核心素养，教学过程要重点发展学生学科核心素养，让知识的发生发展过程变成和发展学生的学科核心素养的过程.尤其是现在新的高中数学教材还没有面世，在使用旧教材落实新课标的背景下，教师不是教教材，而是用教材教.教学内容不一定局限于教材内容，教学内容应该是与目标匹配的内容，有必要进行重组或进行教学化处理，教师要充分挖掘教学内容所蕴含的学科核心素养，设法让深度学习发生.在新课程理念下的教学设计要求我们从课时设计到单元设计，甚至从学科的整体高度来进行设计，把知识结构化，把深度学习设计出来，扎实形成和发展学生的学科核心素养.