新课标全国卷“不等式选讲”的命题特点及复习建议

广东省广州市南海中学(510160) 陈焕文

近几年，在高考中不等式选讲在解答题第23 题考查，属于选考内容.难度中等，分值为满分10 分.从能力要求上看，主要考查学生解不等式、应用不等式的能力，考查分类讨论的数学思想、逻辑思维能力和运算求解能力.从内容上看，主要考查：(1)考查含绝对值不等式的解法与含绝对值符号的函数最值、恒成立问题;(2)考查不等式的证明，会用综合法、分析法等证明方法.下面，从以下五个方面研究不等式选讲专题.

1 考纲要求

1.1 理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：

(1)|a+b|≤|a|+|b|;

(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|;

(3) 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.

1.2 了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.

(1) 柯西不等式的向量形式：|→α‖→β|≥|→α·→β|;

(2)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2;

1.4 会用向量递归方法讨论排序不等式.

1.5 了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.

1.6 会用数学归纳法证明伯努利不等式：(1+x)n＞1+nx(x＞-1，x/=0，n为大于1 的正整数)，了解当n为大于1 的实数时伯努利不等式也成立.

1.7 会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值.

1.8 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

2 主要考点：2009年——2018年新课标全国卷不等式选讲考查目标统计表

年份不等式选讲2013I 考查绝对值的意义和含绝对值不等式的求解，考查分类讨论的数学思想，考查考生的逻辑思维能力.2013II 考查不等式的基本性质和重要不等式的应用，考查证明不等式的方法，考查学生的逻辑思维能力.2014I 考查考生对基本不等式的理解与运用以及考生的运算能力，考查函数与方程思想和数形结合思想.2014II 考查不等式的基本性质和重要不等式的应用，考查学生处理含绝对值不等式的能力、逻辑思维能力.2015I 考查绝对值的意义和含绝对值不等式的求解，考查分类讨论的数学思想.2015II 考查绝对值不等式的性质，分析法、综合法的应用，考查逻辑思维能力.2016I 考查含绝对值的函数的图像，含有绝对值的不等式的求解.2016II考查绝对值不等式的解法及简单的不等式的证明，意在考查考生对绝对值不等式的掌握情况以及作差法比较大小的应用.2016III 考查绝对值不等式的解法、不等式的应用，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力.2017I 考查绝对值不等式的求解，求参数的取值范围，考查考生数形结合能力、化归与转化能力、运算求解能力.2017II 考查基本不等式的应用、一些常用的变形以及证明不等式的方法，考查考生的基本运算能力与分析问题能力.2017III 考查绝对值不等式的解法以及函数最值的求解，考查学生的逻辑思维能力.2018I考查绝对值不等式的求解，含参的绝对值不等式求取值范围问题，考查考生的分类讨论能力、化归与转化能力以及运算求解能力.2018II 考查绝对值不等式的求解与含参不等式恒成立问题，考查考生的分类讨论能力、化归与转化能力以及运算求解能力.2018III考查绝对值函数的图像与性质、含参不等式恒成立问题，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算.

3 命题特点

通过以上的分析，近几年新课标全国卷不等式选讲试题有以下命题特点：

3.1 以考查绝对值不等式为主

解绝对值不等式、绝对值函数的图像、含参的绝对值不等式求参数取值范围

出现的年份有：2009年，2010年，2011年，2012年，2013年I 卷，2014年II 卷，2015年I 卷，2016年I、II、III 卷，2017年I、III 卷，2018年I、II、III 卷.

题目(2018 新课标I，23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|．

(1) 当a=1 时，求不等式f(x)＞1 的解集;

(2) 若x ∈(0,1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围.

解(1) 当a=1 时，f(x)=|x+1|- |x-1|，即故不等式f(x)＞1 的解集为

(2) 当x ∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|＞x成立等价于当x ∈(0,1)时|ax-1| ＜1 成立．若a≤0，则当x ∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a＞0，|ax-1|＜1 的解集为所以故0＜a≤2．综上，a的取值范围为(0,2]．

3.2 与函数结合、考查数形结合和转化与化归思想是主要特点;

题目(2018 新课标III，22) 设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|．

(1) 画出y=f(x)的图像;

(2) 当x ∈[0,+∞)，f(x)≤ax+b，求a+b的最小值．

解(1)对应的图象如图所示.

图1

(2) 当x ∈[0,+∞) 时，f(x) ≤ax+b.当x=0 时，f(0)=2 ≤0·a+b，所 以b≥2; 当x＞0 时，要 使f(x) ≤ax+b恒成立，则f(x)的图象恒在直线y=ax+b的下方或在直线上.因为f(x)的图象与y轴的交点的纵坐标为2，且各部分直线的斜率的最大值为3，所以当且仅当a≥3 且b≥2 时，不等式f(x)≤ax+b在[0,+∞)上成立，所以a+b的最小值为5.

3.3 考查去绝对值的方法是试题变化中不变的规律;

3.4 基本不等式是考查不等式证明方法的主要依据;

题目(2014 新课标I，24)若a＞0，b＞0，且=

(1) 求a3+b3的最小值;

(2) 是否存在a,b，使得2a+3b=6? 并说明理由.

解(1) 由得ab≥2，且当a=b=时，等号成立.故且当a=b=时，等号成立.所以a3+b3的最小值为

3.5 在求解过程中考查绝对值三角不等式的灵活应用能力.

题目(2014 新课标II，24)设函数a|(a＞0).

(1) 证明：f(x)≥2;

(2) 若f(3)＜5，求a的取值范围.

解(1) 由a＞0，有所以f(x)≥2.(2) 略.

4 不等式选讲专题的教学建议

4.1 掌握去绝对值的方法，并灵活应用是根本

解决含绝对值问题的基本思想就是利用绝对值的几何意义去绝对值，将之转化为不含绝对值的问题.根据上述对命题特点的分析，可以看出解决含绝对值不等式的问题，不论具体求解过程怎样变换，一个不变的规律就是依据绝对值的几何意义进行化简.不等式中含有的绝对值至多有3 个，但是通过化简都能转化为一般不等式(组).

在教学过程中不能只停留在就题论题的水平，不仅要知道答案是什么，而且要学会分析为什么这么做，怎样想到的，以逐步培养学生的分析能力，提高其概括能力.

4.2 用函数的观点认识不等式问题，数形结合求解是突破口

求函数在某一范围内取值时，就转化为不等式，因此在函数的观点下认识不等式，借助函数图像，数形结合地求解不等式问题是解决这类问题的突破口.

4.3 分析问题的方法是不等式证明的关键

关于不等式证明的方法，没有具体的知识点，只有方法要求，因此它的载体丰富多彩.如2013年新课标全国卷II、2014年新课标全国卷II、2015年新课标全国卷II 和2017年新课标全国卷II，虽然都是依托基本不等式或绝对值三角不等式进行考查的，但是拓展考查的范围是符合考纲要求的.因此，在这一部分，关键是要掌握分析问题的方法.通过分析思路，再用综合法书写过程.在证明问题的过程中，教师要注重对学生的这种分析能力的培养.总之，在不等式选讲的教学中，我们要抓住本质，才能化无限为有限，才能多题归一;抓住基础，抓住数学的核心，进而才能提高学生分析问题及解决问题的能力，提高学生的转化能力.教学要基于具体的题目，揭示一般的方法，抽象一般规律，这就是数学教学的核心，即概括.基于概括，学生的思维才会具有灵活性和敏捷性.不论考查方向如何变化，学生有了这样的能力，就能从容应对.