基于二次函数的线段有关定值问题例析

2019-08-04 12:44熊猛
理科考试研究·初中 2019年6期
关键词:定值二次函数线段

熊猛

摘要:本文通过几类线段有关定值问题,分析该类问题的求解策略.这类问题的解答策略有:①通过求解直线与直线、直线与抛物线的交点坐标,表示线段的长;②根据点的坐标特点,构造相似,列出比例,表示线段之间的关系.这类问题是典型的数形结合问题,通过几何问题代数化,使数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化.

关键词:二次函数;线段;定值;数形结合

初中二次函数的线段综合题中,线段有关定值问题综合性强,方法灵活,对运算能力及数学推理能力和意识要求较高,在解决这类问题时,要善于挖掘各量之间的关系,在变中取定,充分体会数形结合与转化等数学思想.下面通过几例来说明.

1 线段长为定值

例1如图1,已知抛物线y=_x2+mx+m-2的顶点为A,且经过点B(3,-3).

(1)求顶点A的坐标;

(2)如图2,将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线,新抛物线与射线OA交于C,D两点,请问:在抛物线平移的过程中,线段CD的长度是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.

说明 本题通过相似分别表示出OM、ON的长,再通过直线相关知识得出相关数值,从而使问题求解.本解法相比例1,更能体现数形结合,通过直线解析式及直线上的点使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化,

说明 本题解题的关键是灵活利用角平分线的性质及用参数表示二次函数与x轴的交点坐标,再利用相似或解直角三角形解决问题,把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合.4线段倒数和

说明 本题考查了抛物线的对称轴以及抛物线与坐标轴的交点问题,相似三角形的判定與性质,锐角三角函数,作辅助线构造相似三角形以及等腰三角形是解题的关键.

5 线段长度的综合运算

例5 如图9,抛物线Cl:y= ax2+bx+1(a≠0)的顶点坐标为D(1,0)且经过点(0,1),将抛物线C1向右平移1个单位,向下平移1个单位得到抛物线C2,直线y=x+c,经过点D交),轴于点A,交抛物线C2于点B,抛物线C:的顶点为P.

(1)求抛物线C,的解析式;

(2)如图10,连结AP,过点B作BC⊥AP交AP的延长线于点C,设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点,连结BQ并延长交AC于点F,连接PQ并延长交BC于点E,试证明:FC(AC +EC)为定值.

说明 本题利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,通过构造相似,列出比例,表示出所求线段的长度.

例6 如图11,直线y= -x +3与x轴、y轴分别交于点B、C,抛物线y=a(x-l)2+五经过点B、C,并与x轴交于另一点A

(1)求此抛物线及直线AC的函数表达式;

(2)经过点D(O,1)的直线m与射线AC、射线OB分别交于点M、N.当直线m绕点D旋转时,√10/AM+2/AN是否为定值,若是,求出这个值,若不是,说明理由.

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