动与静 直观与推理相结合

刘伟　强小磊

摘要：分析解答动态问题时，应注意“动静”结合;解答作图存在性问题时，要重视论证图形的存在性;在解答中，要高度重视暴露思考过程与解答方法.

关键词：动静结合;存在说理;暴露思考过程

l 题目呈现

题目 （2018年陕西省中考第25题是[1]）

问题提出 （1）如图1，在△ABC中，∠A= 120°，AB =AC =5，则△ABC的外接圆半径R的值为____.

问题探究 （2）如图2，⊙0的半径为13，弦AB= 24，M是AB的中点，P是⊙0上一动点，求PM的最大值，

问题解决（3）如图3所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路，其中AB= 6km，AC= 3km，∠BAC=60°，BC所对的圆心角为60°.新区管委会想在BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F.也就是，分别在BC、线段AB、AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+ FP的最小值（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）.

2 题目解析

解 （1）利用圆周角与圆心角的关系，易得R的值为5.

（2）如图4，连接OM，OA，OP，延长MO交⊙0于点P.因为M是弦AB的中点，所以OM⊥AB，AM=1/2AB=12，则OM=5.

由图易知：PM≤OM+ OP=OM+ OP=MP=18.当点P运动到点P时，PM取得最大值，最大值是18.

对于第（3）问的解答，其思考过程，应分如下两个主要环节：

2.1 用“静与动”相互转化的方法探索初步的解法

解决三条线段之和最短问题通常的思路是：设法将三条线段转化在一条直线上.

如图5所示，假定E、F、P三点就是所定的三点（是解答作图问题的起步[2]，属静态思考范畴），根据解答此问题的基本思路，可作点P关于AB的对称点P′，点P关于AC的对称点p″，于是EP= EP′，FP=FP″.求AEPP的周长可转化为P′E+ EF+FP″的长.若要P′E+ EF+ FP″的值最小，则P′、E、F、P″四点共线.连接P′p″，由于E、F是动点，所以只要点E运动到点E′，点F运动到点F′，就有P′、E、F、P″四点共线（属动态思考范畴）.

另一方面，连接AP、AP′、AP″.因为∠BAC= 60°，由对称性有AP=AP =AP″，∠P'AP"= 120°.

所以AAP′P″為120°的钝角等腰三角形.要P′p″最短，则应满足AP′的长最短，即AP的长最短即可（静态思考）.

由于点P是BC上的动点，点A是BC所在圆的圆外一点，设这个圆的圆心为0，那么从整体角度来考虑，问题就转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题（从动态角度看，问题转化为圆中一个基本问题）.所以点P应是OA连线与⊙0的交点，此时AP线段的长应是最短的.这时应解决的问题是：点P在BC上吗？

2.2 用“直观与推理”相结合的方法说明问题的存在性

如图6所示，从直观角度看，点P在BC上.要准确说明点P在BC上，应进行论证.简单说：因为分析问题的出发点是从假定E、F、P三点满足条件开始的，找点P是从BC所在圆来分析的.

连接BC、OB、oc、OA，设OA与⊙0相交于点P.

因为AB= 6km，AC= 3km，∠BAC= 60°，BC所对的圆心角为60°，则AB的中点到A、B、C三点的距离均为3km，所以∠ACB= 90°，则∠ABC= 30°，ABOC为等边三角形.

说明 点P在BC上有如下两种方法：

方法1 在四边形ABOC中，因为∠ABO= 90 °，∠ACO =90 ° +60 °= 150 °，所以OA在四边形ABOC内部，即点P在BC上.

方法2 因为点B到AC的距离为BC =AC.tan60 °=3√3.

又因为AB=6，OB =3√3，则OA= 3√7.

从过程上看，解答动态问题时，应注意用“动与静”相结合的方法来分析问题;解答作图存在性问题时，要重视说明图形的存在性，否则总有不完善之处.从让学生掌握解答方法角度上分析，解答中要注意暴露分析、思考过程与解答方法，

参考文献：

[I]杜志建.全国各省市中考试卷汇编.45套数学[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社，2018.

[2]朱德祥.初等几何研究[M].北京：高等教育出版社出版，1985.