数学推理：学生数学学习的重要方式

储文亚

摘  要：推理是学生数学思维的基本方式。从推理形式上来看，推理主要包括合情推理和演绎推理，合情推理主要包括不完全归纳推理和类比推理。在教学中，教师要为学生提供推理素材，引导学生进行推理活动，根据数学知识特质以及学生具体学情进行推理教学，将推理贯穿于数学教学的始终。

关键词：小学数学;数学推理;学习方式

推理是学生数学学习的重要方式，学生的数学学习不开推理。东北师范大学史宁中教授曾经这样说过：“学生的数学核心素养主要就是抽象、推理和建模。”可见，推理是学生数学思维的基本方式。从推理形式上看，推理主要包括合情推理和演绎推理，合情推理主要包括不完全归纳推理和类比推理。在教学中，教师要为学生提供推理素材，引导学生进行推理活动，让学生清晰地表达推理内容。通过推理，将学生的数学学习引向深入。

■一、归纳性推理，发展学生合情猜想力

著名数学家波利亚说：“数学，既要教证明，又要教猜想。”数学猜想，是建立在对数学客观事实、现有理论的基础之上的。归纳推理，就是学生依据全部、部分的事实，做出的完全或不完全的推理。在数学教学中，要警惕一些形式化、空洞化、表面化、虚假性的归纳推理。在小学数学教材中，有一连串的形式化定理、定义、法则、公式等，其发现、推导过程，很多都是运用归纳推理。但是教材中的归纳偏重于完成的形式。作为教师，要引导学生经历归纳的过程。通过归纳过程的经历，促进学生合情推理的发展。

教学《三角形的三边关系》，许多教师都是直接提供结构性的素材，引导学生围三角形，根据围的结果，揭示出“围成的三角形的三条边之间的关系”。如此，学生也能理解“围成三角形的三条线段的关系”，也能够判断三根小棒能否围成三角形。但是，这样的教学是一种“结果性的教学”，不利于学生数学推理能力的发展。立足于三角形的形成过程，教师可以引导学生一边猜测、一边推理，不仅能促进学生的理解，更能深化学生的认知。比如笔者在教学中，首先提出了这样的一个问题：是否任意三条线段都可以围成三角形？对于这一问题，学生的回答是清一色的“能”，因为他们没有对围成三角形的三条线段之间的关系做出思考。为此，笔者给学生提供一根线段，让学生将这样一根线段任意分成三份，结果让所有学生诧异的是“不能围成三角形”。有了实验现象，学生就会展开深度思考：怎样的三根小棒能围成三角形呢？为什么将一根线段任意分成三根，就不能围成三角形呢？围成三角形的三根小棒之间有着怎样的关系？如此，学生会根据实验现象，将任意三根线段的关系分为三类：一是任意两根线段的和大于第三根线段;二是任意两根线段的和等于第三根线段;三是任意两根线段的和小于第三根线段。根据分类，学生分别展开不完全归纳的实验探究，最后将三种情况完全归纳出“围成三角形的充要条件”。

归纳推理，是小学数学推理的重要组成部分。在归纳的过程中，学生需要运用正例、反例、变式等多个例证方法，经由归纳推理的过程，获得对数学结论的真正理解。在归纳的过程中，教师要有意识地发展学生的合情猜想能力，充分体现学生数学思考的主动性、聚焦性、积极性等。

■二、类比性推理，发展学生数学迁移力

类比，是数学合情推理的又一种推理形式。所谓“类比”，是指“根据两类或两类以上对象的部分相同属性，进而推想出它们的其他属性也相同的推理”。类比推理，能发展学生的数学联想、迁移能力。在通常情况下，类比能让学生形成对一类数学定义、定理等的相同属性、内在规律的认知。正如著名数学教育家波利亚所认为的那样，“类比是提出新命题、获得新发现的取之不竭的源泉”。波利亚认为，“在一切发现中，类比作用最大”。

对于学生的类比，教师要引导学生反思、比较，要让学生说出类比的原因，说出类比的依据。如此，学生的类比就会“比之有向（方向）”“比之有序（顺序）”“比之有理（道理）”“比之有创（创造）”。比如教学《小数的加减法》，有学生根据“整数加减法的法则”，类比出“小数加减法的法则”，即“末位对齐”。显然，学生的类比只是“形式化的类比”。对此，教师不必苛责学生，而应引导学生深度思考：末位对齐，就是什么对齐？数位对齐，本质上就是什么相同？通过对类比的根据、类比的形式、类比的内容的深度反思，学生能认识到类比的可靠性、科学性等。如在《小数的加减法》教学中，当学生认识到“末位对齐”就是“数位对齐”，“数位对齐”本质上就是“计数单位相同”之后，就会重新进行类比：整数加减法要末位对齐，小数加减法要小数点对齐。因为只有这样，才能让计数单位相同。通过反思，学生从“形式性类比”走向了“实质性类比”。实质性类比，有助于认识、把握类比的本质。

类比推理，是一种由此及彼的推理、由此及彼的联想。如果说，归纳是由特殊到一般，那么，类比推理就是由特殊到特殊。作为教师，要主动为学生提供类比素材，提供类比线索，让学生能主动进行类比联想、类比猜测，从而培养学生举一反三、触类旁通的能力。

■三、演绎性推理：发展学生的逻辑思维力

归纳推理、类比推理是一种合情推理，演绎推理是一种逻辑推理。因此，从根本上说，演绎推理有助于发展学生的逻辑思维能力。演绎推理，又称为论证推理，它的思维过程是从一般到特殊，是按照逻辑法则进行的论证，比如三段论的逻辑等。在數学教学中，教师要引导学生把握推理的条件、结论，并进行从条件到结论的推理想象，以便建构推理的思路、明晰推理的方向、知晓推理的前提等。

比如教学《长方形和正方形的面积》，教师就要将实验推理与演绎推理相结合。如在“长方形的面积”学习过程中，笔者引导学生动手操作。每行的小正方形的个数就是长方形的长，一共的行数就是长方形的宽，一共的小正方形的面积单位的个数就是长方形的面积。因为，一共的小正方形面积单位的个数等于每行的小正方形面积单位的个数乘行数，所以长方形的面积就是长乘宽，就具有实验推理的特质。如果说，长方形的面积是实验推理，那么，正方形的面积就是演绎推理。因为，长方形的面积等于长乘宽，正方形是长和宽相等的特殊的长方形，所以正方形的面积就是边长乘边长。这样的推理，就是从一般到特殊的演绎性推理。课件，演绎性推理是从一个上位概念、定律、公式等到下位概念、定律、公式等的过程。当然，在这个过程中，学生的演绎推理可能还不是那么严密。对此，我们应当逐步引导学生，而不是对学生吹毛求疵，而应当对学生适当地包容。有时候，“不严格的清楚”比“严格的不清楚”更好。教学中，要让学生“说数理”“说算理”“说事理”等，进而逐步培养学生的演绎推理能力。演绎推理，不仅有助于发展学生的推理技能，而且有助于丰富学生的推理经验，优化学生的推理品质。

小学阶段的数学推理，应当从合情推理逐渐过渡到演绎推理。一般而言，在小学低年级学段，应当以合情推理为主。中年级学段，应当让合情推理与演绎推理相融合，而到了高年级学段，应当逐步过渡到演绎推理。在教学中，教师要根据数学知识特质以及学生具体学情进行推理教学，将推理贯穿于数学教学的始终。