“智数学”视野下，计算教学的诗和远方

徐海燕

摘  要：“智数学”就是学了使人聪明的数学。数学计算是数与代数的重要组成部分，笔者以“三位数乘两位数”为例，探讨了计算教学如何承担起对问题及其基本结构的理解以及如何使用数学工具对问题进行建模，充分开发计算教学的育人价值。

关键词：“智数学”;计算教学;育人价值

“智数学”就是学了使人聪明的数学。2011版数学课程标准指出：“作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。”数学计算作为小学数学教学内容四大领域之一的数与代数的重要组成部分，不仅要发挥数学学习和其他学科的基础作用，更应该承担起对问题及其基本结构的理解以及如何使用数学工具对问题进行建模的能力。

“三位数乘两位数”是在学生掌握了“多位数乘一位数”和“两位数乘两位数”的算法和算理的基础上进行教学的。课前，大多数教师会认真备课，但一节课上下来，学生似听非听、目光游离、注意力涣散，教师日长似岁、目光呆滞、倍感挫败，师生均对这样一节不教而会的课缺乏期待，教学效果显而易见。

那么，怎樣开发计算教学的育人价值，使学生目光如炬、如饥似渴，开启学生学习的“兴奋点”，让学生走进课堂和走出课堂后的思维发生变化呢？

■一、织数学——从知到行

面对学生的不教而会，如何从会走到落实，这就需要我们的教学要长程设计、结构化思考，用好教材，用活教材，才能帮助学生不断主动构建新的知识结构，织一张数学知识的网。为此，笔者组织了以下教学：

1. 循“理”入“法”，沟通计算的联系

师：月星小区有12幢楼，平均每幢楼住28户。月星小区一共住了多少户？你能笔算出答案吗？

师：如果把题目改为“月星小区有12幢楼，平均每幢楼住128户。月星小区一共住了多少户？”你能估一估月星小区大约一共住了多少户吗？你是怎样估算的？

生1：把128估作100，把12估作10，100×10=1000。

生2：把128估作100，100×12=1200。

生3：把12估作10，128×10=1280。

师：那究竟是多少户呢？把你想到的方法记录下来。

生：方法1：128×2=256，256×6=1536。

方法2：128×3=384，384×4=1536。

方法3：128×10=1280，128×2=256，1280+256=1536。

方法4：竖式计算。

师：第1种方法和第2种方法有什么相同之处？

师：它们和第3种方法有什么相同之处？有什么不同之处？

师：竖式计算与上面哪种方法相同？都是怎样算的？

教学时，先复习两位数乘两位数的计算方法，激活学生已有的笔算乘法的经验，为自主探究三位数乘两位数做好铺垫;通过算前估算，获得乘积的范围;例题呈现后，引导学生用多种方法解决问题。学生根据已有的用连乘解决实际问题的经验和已有的生活经验要算12幢一共有多少户，可以先算2幢的户数加上10幢的户数，把其中一个乘数拆成两数之积或两数之和，进而应用旧知解决了新问题，而拆成两数之和的方法又和竖式的计算方法不谋而合。通过对多样化解决问题思路的探索，我们培养了学生思维的广阔性;将新知转化为旧知，培养了学生思维的敏捷性;通过算后的结果与估算结果进行比较，解释积和竖式计算的合理性，培养了学生的估算意识。循“理”入“法”，以理驭法，使得孩子的数学学习充满思维的灵动和深刻。

2. 于无疑处追问，理解笔算的算法

师：三位数乘两位数我们没有学过，怎么都会了？如何笔算三位数乘两位数？

生：三位数乘两位数，笔算时，跟两位数乘两位数一样，都是用第二个乘数的每一位和第一个乘数相乘，最后把乘到的得数相加。

师：你能很快笔算出下面两道算式的得数吗？

试一试：24×375  309×26

师：同桌交换检查，你能不计算就判断对错吗？你是怎样判断的？

方法1：估算判断法。

方法2：个位数判断法。

方法3：位数判断法。

方法4：重算法。

让每个学生经历一遍竖式计算是从会到落实的必经之路，通过对两位数乘两位数方法的迁移，概括三位数乘两位数的算法，培养学生的类推、概括能力。“三位数乘两位数你们没学怎么就会了？”深入剖析新旧知识之间的联系，每位学生再用笔算的方法计算一遍，使学生既掌握了知识技能，又提升了反思、质疑、归纳和总结的能力，于无疑处追问，理解了笔算的算法。试一试呈现后，教师设计了有需要的估算，即让同桌交换检查，但不计算检查，这样不仅落实了算法，也让学生深刻体会了估算的价值。这样织数学，学生越学越开心，越学越聪明，从学会走向会学。

■二、自数学——从行到思

如何将枯燥、无趣的竖式计算变得趣味盎然，使学生思维敏捷、灵活，不仅需要我们通过设计具有开放性、挑战性、探究性的问题，留足思考的空间与时间，从而转化学生的学习方式，促进其掌握学习方法，而且还需要我们渗透数学文化，追本溯源，培养学生的研究精神与探索欲望。自数学，从行到思。为此，笔者组织了以下教学：

1. 向未知处追问，明晰计算的道理

师：过去我们学习了多位数乘一位数，两位数乘两位数;今天我们学习了三位数乘两位数;未来我们还可能学习什么？

生：未来我们可能学习四位数乘两位数，五位数乘两位数，三位数乘三位数，四位数乘三位数……

师：五年级、六年级乃至初中等，都不会再学这些内容了，为什么呢？同桌讨论。

（思考数秒后，无数小手高举。）

生1：因为它们的计算方法都是一样的，都是用第二个乘数的个位去乘第一个乘数，积的末尾对齐个位;再用第二个乘数的十位去乘第一个乘数，积的末尾对齐十位;再用第二个乘数的百位去乘第一个乘数，积的末尾对齐百位，以此类推……

“过去我们学习过三位数乘一位数，两位数乘两位数，今天我们学习了三位数乘两位数，未来我们将学习什么内容呢？”学生自然产生联想：应该要学多位数乘多位数。“但实际上我们不会再学这部分内容了，为什么呢？”这么一追问，一石激起千层浪，孩子立刻会透过这些现象去寻找这些内容背后相同的结构，即都是用第二个乘数的每一位去乘第一个乘数，乘到第二个乘数的哪一位，积就对齐哪一位，最后把每次乘得的积相加。向未知处追问，促使学生对自己的认知结构重新审视，进而不断补充和完善，形成新的认知体系。

2. 异源同流，追寻计算的根源

师：欧洲算法，你能看懂吗？和我们今天的算法相比，有什么共同的地方？

出示PPT（图1）：

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图1

生：欧洲算法是用第二個乘数的个位和第一个乘数的个位相乘，积的末尾对齐个位，再用第二个乘数的个位和第一个乘数的十位相乘，积的末尾对齐十位，再用第二个乘数的个位和第一个乘数的百位相乘，积的末尾对齐百位;接着用第二个乘数的十位和第一个乘数的个位相乘，积的末尾对齐十位，再用第二个乘数的十位和第一个乘数的十位相乘，积的末尾对齐百位，再用第二个乘数的十位和第一个乘数的百位相乘，积的末尾对齐千位。和我们今天的方法是一致的。

师：是的，都是在数一数、算一算一共有多少个计数单位。

师：我们还可以将这些数字写在方格里，也就是格子乘法。“格子乘法”是15世纪中叶，意大利数学家帕乔利在《算术、几何及比例性质摘要》一书中介绍的一种两个数相乘的计算方法。这种方法传入中国之后，在明朝数学家程大位的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”。你能看懂吗？

出示PPT（图2）：

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图2

通过数学文化的渗透，激发学生的学习兴趣。无论是今天的算法还是欧洲算法，抑或铺地锦，都是将第二个乘数的每一位和第一个乘数相乘，再将乘得的积相加，其本质都是数一数、算一算一共有多少个计数单位，追奔溯源，行至远！

■三、智数学——从思到智

我们听课得来的知识其实只是获得了没有经过大脑思考的最初级的知识形式——信息知识;当我们开始深究，搞清楚在什么样的环境下、进行什么样的运算、考虑了什么样的条件才能得到时，就掌握了更高层次的知识形式——处理过的知识;处理过的知识和其他处理过的知识如果有强关联关系，那么我们的大脑就会将它们联系在一起，更多的强关联知识联系在一起就形成了一个更高级的知识形式——体系知识;当头脑中有了很多体系知识之后，在运用时各种体系知识进行有机的组合，便会生成最高级的知识形式——智慧。

所以，我们在学习中应该将更多的信息知识进行处理加工，将其变为处理过的知识并吸收进大脑，以促进大脑根据知识的强相关性组合形成体系知识。拥有众多体系知识的大脑，在遇到问题时才会随机组合多种体系知识来解决问题。智慧也就自然产生了！

1. 运筹板书，形成知识的结构

板书是教学中所应用的一种主要的教学媒体，板书艺术则是教学艺术的有机组成部分。苏联著名教育家加里宁说：“教育事业不仅是科学事业，而且是艺术事业。”成功的教学是高度的科学性和精湛的艺术性的有机结合的结果。所以，坚持教学原则，采用艺术手法，浇灌学生心田，努力使教学过程审美化，是我们教师的追求。

教师应对板书内容进行精心设计，使其达到科学、精炼、好懂、易记的要求。对每堂课的板书内容设计，应根据教材的内容、教师的设计技巧和学生的适应程度而定。

三位数乘两位数的板书应该包括信息知识、处理过的知识，包括三位数乘两位数的算法和算理以及隐藏的多位数乘多位数的算法和算理。通过板书，学生在不知不觉中对知识的结构有知有觉。（图3）

2. 整理思维，形成方法的结构

师：今天这节课，你有哪些收获？

师：课后，请同学们利用我们学习过的思维导图，绘制一份关于整数乘法的思维导图，下节课我们一起展示交流！

通过回顾反思“今天这节课你有哪些收获”，学生在“认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流”后，归纳概括出学习“三位数乘两位数的笔算”的学习方法：复习两位数乘两位数的笔算方法——经历探索三位数乘两位数笔算方法的过程（估算——多种方法简算——笔算），体会新旧知识的联系——总结、归纳三位数乘两位数的笔算方法，理解算理，掌握算法——类推多位数乘多位数的笔算方法，沟通计算联系，培养类比、概括的能力——多位数乘法相关数学史，感悟计算本质。绘制思维导图，是整数乘法的一次延续，回忆、整理已学的相关知识，进行整体建构，启发思考，学生的算理表达有所提升，算法得到了自然迁移，构建了学习笔算乘法的方法模型，生成了最高级的知识形式——智慧，培养了数学素养。

爱尔兰诗人叶芝说：“教育不是注满一桶水，而是点燃一把火。”我们的数学计算课堂也应该点燃学生学习数学的信心，激起学生学习数学的兴趣，开启学生数学学习的“兴奋点”，培养学生的研究精神与探索欲望，培养学生自主探究、合作分享的学习方式，织知识之网，促学生主动建构，给学生留足思考的空间与时间，做中学，学中做，将抽象转化为具体。

从知到行，从行到思，从思到智，促进学生可持续发展的数学素养，笔者认为这应该是计算教学的诗和远方。