摆线针轮传动接触乏油润滑特性分析*

孙章栋,2 任爱华 王红霞 宋 俊

(1.湖北汽车工业学院机械工程学院 湖北十堰 442002;2.重庆大学机械传动国家重点实验室 重庆 400044)

摆线针轮行星传动以其传动精度高、传动比大、结构紧凑及使用周期长等优点，而被广泛应用于微型器械、机器人和测试仪器等。为了保证摆线针轮行星传动的传动精度，须减小拆装次数，通常采用脂润滑，故在传动过程中经常处于供油不足状态。摆线轮与针轮的润滑特性，特别在乏油的条件下，直接影响齿轮的传动效率、接触疲劳及使用寿命[1-3]，故开展摆线针轮传动乏油润滑特性的研究非常有必要。

学者们对脂润滑做了部分研究，KAUZLARICH和GREENWOOD[4]基于Herschel-Bulkley流体模型推导出了脂润滑的膜厚公式。JONKISZ和KRZEMINSKI-FREDA[5]得到线接触脂润滑弹流问题的完全数值解。WEN和YING等[6]通过实验和理论研究确定脂润滑数学模型的流变参数，表明脂润滑在乏油工况下形成的膜厚比油润滑小。LUGT对脂润滑的发展状况进行了综述，指出脂润滑乏油机制有待进一步研究。ROTHBERG等[8]用Bingham流体模型表征脂的本构方程，研究表明油膜温升会破坏接触区域的阻塞流，导致膜厚减小，使润滑状态转变成混合润滑状态或边界润滑状态。

在齿轮传动过程中，乏油现象经常发生，造成润滑状态不良。WEDEVEN等[9]通过光干涉法分析点接触下乏油机制，表明卷吸速度增加是引起乏油的主要原因。HAMROCK和DOWSON[10]采用改变入口计算边界与赫兹接触中心的距离来表征乏油程度，研究乏油程度变化对点接触下压力和膜厚的影响。润滑油在接触区的入口处通常存在逆流，TIPEI[11]利用逆流发生的位置确定了入口边界。MOHAMMADPOUR等[12-13]采用TIPEI的方法先确定入口边界，再利用HAMROCK和DOWSON的方法来确定乏油程度，研究了点接触乏油润滑特性。ELROD[14]提出一种处理乏油润滑问题的有效算法，以入口油膜厚度来表征乏油程度。YIN等[15]利用ELROD提出的方法对椭圆接触进行热弹流乏油润滑数值分析，研究椭圆比对准充分供油条件下所需供油量的影响。WANG等[16]在乏油条件下，研究接触表面的微织构对压力及膜厚的影响。

目前，关于摆线针轮传动接触润滑特性方面的研究报道较少。赵清和何韶君[17]最先利用DOWSON提出的最小膜厚经验公式，来判断摆线针轮传动啮合过程中润滑状态的优劣。姜元志等[18-19]将摆线针轮传动接触简化为无限长线接触，建立无限长弹流润滑数值模型，利用多重网格法对压力进行求解，对摆线针轮传动接触瞬态弹流润滑特性进行了分析，并讨论单粗糙度峰对摆线针轮传动弹流润滑特性的影响。作者已对摆线针轮传动弹流润滑特性做了部分研究，采用统一雷诺方程技术建立了摆线针轮传动线接触脂润滑模型，利用追赶法求解压力，利用DC-FFT法求解弹性变形，分析了工况变化及修形参数变化对摆线针轮传动润滑特性的影响[20-22]。

在工程实际中，摆线轮与针齿啮合为有限长线接触，由于制造和安装误差以及供油条件的影响会导致供油厚度沿齿宽方向呈不均匀分布，进一步会影响压力和膜厚在齿宽方向上的分布，这方面的研究国内外目前未见报道，对工程实际中由于供油条件变化引起弹流润滑问题有一定的指导意义。本文作者引入部分油膜比例，建立摆线针轮传动有限长线接触乏油润滑数值模型，考虑入口油膜厚度及工况变化，研究沿齿宽方向上不均匀分布的入口油膜厚度对接触区压力和膜厚分布的影响。

1 摆线针轮传动几何与运动学分析

在摆线针轮传动润滑特性分析之前，需对其进行几何及运动学分析，可参考文献[20]。表1给出了摆线针轮传动副及润滑设计相关参数。摆线针轮传动装置设计时，影响摆线轮齿廓形状和承载能力的主要参数是短幅系数k1，k1=(Azb)/Rb，A为偏心距，zb为针轮齿数，Rb为针轮半径。

表1 摆线针轮传动副及润滑相关参数

图1所示为摆线轮与针齿接触简图，摆线轮与针齿接触可简化为2个有限长圆柱体线接触模型，如图2所示。两圆柱体分别绕自身轴线转动，建立如图2所示坐标系，Y方向为齿宽方向，X方向为滚动方向,Z向为膜厚方向，ry1,ry2为端部修形半径，rz为针齿半径，Rz为摆线轮齿廓上某一点处的曲率半径。

图1 摆线轮与针齿接触简图

图2 简化的有限长线接触模型

在啮合过程中，摆线轮曲率半径Rz变化，针齿半径rz为定值，从而得到啮合过程中的当量曲率半径为

R=Rzrz/(Rz±rz)

(1)

式中:“+”号用于外凸齿廓啮合，“-”号用于内凹齿廓啮合。

啮合过程中载荷[17]为

(2)

图3 摆线轮与针齿啮合示意图

(3)

图4所示为摆线轮与针齿啮合过程中等效曲率半径、卷吸速度、单位啮合力随啮合相位变化曲线，表明标准齿廓单位啮合力F、等效曲率半径R和卷吸速度ur经过相位角ψ=arccos(k1)时变化趋势发生转变。

图4 当量曲率半径(a)、卷吸速度(b)和单位啮合力(c)随啮合相位变化

2 摆线针传动接触乏油润滑模型

由于摆线轮与针齿之间接触属于纯滚动接触，故雷诺方程中仅需考虑牛顿流体的影响且忽略热效应的影响。对于乏油润滑，量纲一化雷诺方程中需引入变量：部分油膜厚度比例θ(θ=Hf/H，其中Hf为油膜厚度，H为两接触体之间间隙高度)，用来表征两表面间隙被润滑油填充的程度[15]。

(4)

量纲一化Reynolds方程的边界条件为

(5)

为了保证充分润滑状态，量纲一计算域为X=[Xin,Xout]=[-4.0,1.5]。在整个计算区域内，量纲一化Reynolds方程还须满足补充条件：

P(X,Y)[1.0-θ(X,Y)]=0.0

(6)

当P(X,Y)>0.0时，θ(X,Y)=1.0为充分供油状态；当P(X,Y)=0.0时， 0.0<θ(X,Y)<1.0为乏油或气穴状态。

部分油膜厚度比例θ(X)的边界条件[15]为

(7)

式中：Hf(Xin)=Hoil,Hoil为计算区域Xin处量纲一入口油膜厚度，用来表征工程实际中接触区入口处的供油量。

量纲一化膜厚方程、黏度方程、密度方程、变形方程及载荷平衡方程参考文献[23]。

为了利用追赶法对压力进行求解，离散量纲一化Reynolds方程为如下形式[24]：

αipi-1+βipi+γipi+1=δi

(8)

式中：αi、βi、γi和δi为Poiseuille流和Couette流差分系数的和。

利用二阶中心差分离散Poiseuille流，一阶向后差分离散Couette流。

(9)

(10)

(11)

(12)

将部分油膜比例θi作为未知量求解，得到部分油膜厚度比例的迭代格式为

(13)

在压力求解时，压力和部分油膜厚度比例被当作分离变量循环迭代，具体的迭代方法及收敛准则参考文献[20]，文中采用DC-FFT法进行弹性变形快速计算[25]。

3 摆线针传动乏油接触润滑特性分析

3.1 乏油接触润滑特性分析

理想状态下，入口油膜厚度沿齿宽方向呈均匀分布。图5—7分别给出相位角ψ=arccos(k1)处入口油膜厚度为0.6 μm条件下压力、膜厚和部分膜厚度比例分布曲线。

图5 入口油膜厚度hoil=0.6 μm条件下压力分布压力分布(a)，Y=0截面压力分布(b)，X=0截面压力分布(c)(Tin=420 N·m，nin=500 r/min)

图6 入口油膜厚度hoil=0.6 μm条件下膜厚分布(a),Y=0截面上膜厚分布(b),X=0截面上膜厚分布(c)(Tin=420 N·m，nin=500 r/min)

图7 入口油膜厚度hoil=0.6 μm条件下部分油膜厚度比例分布(a),Y=0截面部分油膜厚度比例分布(b),X=0截面部分油膜厚度比例分布

图5和6表明，在X=0截面上(齿宽方向)，由于边缘效应，在端部出现明显的压力峰及膜厚颈缩现象；而在接触线中段大部分区域，膜厚和压力变化较小。图7(b)表明，在Y=0截面上(滚动方向上)，部分膜厚比例θ在入口区域由小于1.0变为等于1.0的过程发生突变，该突变位置对应于压力形成的起始位置。

图8和9分别给出相位角ψ=arccos(k1)处Y=0截面和X=0截面上压力、膜厚和部分油膜比例随入口油膜厚变化曲线。

图8 在Y=0截面上随入口油膜厚度变化的压力分布变化(a)，膜厚分布变化(b)部分油膜厚度比例分布变化(c)(Tout=420 N·m，nin=500 r/min)

图9 在X=0截面上随入口油膜厚度变化的压力分布变化(a)，膜厚分布变化(b)，部分油膜厚度比例分布变化 (c)(Tout=420 N·m，nin=500 r/min)

在Y=0截面上，当入口油膜厚度hoil=0.3 μm时，压力分布曲线与Hertz接触压力曲线相似，膜厚分布曲线在接触区域较平坦，部分膜厚比例由θ<1.0变为θ=1.0突变不明显。随着入口油膜厚度增加接触中心压力减小，压力曲线在出口区域逐步形成二次压力峰并向接触中心移动，压力形成的起始位置向接触区上游移动；接触区膜厚相应增加，出口区域的颈缩变得越来越明显；部分膜厚比例由θ<1.0变为θ=1.0突变越来越明显，且该突变位置向接触区上游移动。在X=0截面上，入口油膜厚度变化对压力和部分油膜厚度比例影响较小。上述分析结果与文献[15-16]一致，从而验证数值模型的正确性。

为了进一步研究均匀分布的入口油膜厚度hoil对弹流润滑状态的影响，图10(a)给出相位角ψ=arccos(k1)处最小油膜厚度随入口油膜厚度变化的曲线。当hoil<1.0 μm时，随着hoil增加，最小膜厚hm增幅较大；当hoil>1.0 μm时，随着hoil增加，最小膜厚hm增幅渐渐变小，最后趋近于充分供油条件下的最小膜厚。图10(b)给出整个啮合过程中最小油膜厚度随入口油膜厚度变化的曲线，并与Dowson-Higginson最小油膜厚度经验公式进行比较[26]。随着入口油膜厚度增加，整个啮合区间的最小油膜厚度增加。不同供油条件下，啮合过程中最小膜厚变化趋势是一致的，最小油膜厚度在相位角ψ=arccos(k1)处存在最小值，故该相位处润滑状态可以作为判断整个啮合过程中润滑状态优劣的依据。

图10 啮合相位ψ=arccos(k1)处最小油膜厚度(a)和整个啮合相位最小油膜厚度(b)随入口油膜厚度变化曲线

3.2 不同入口油膜厚度分布对乏油接触润滑特性的影响

为了保证供油量相等，假设4种不同分布的入口油膜厚度,分别为均匀分布、倾斜分布、凹形分布和凸形分布。如图11所示。

方程式如下：

式中：hoil为沿齿宽方向上的平均入口油膜厚度；Km为表征倾斜程度的参数；Am为余弦波幅值，表征不均匀分布程度。

图12给出平均油膜厚度hoil=0.6 μm条件下沿齿宽方向4种入口油膜厚度形状。均匀分布表示入口油膜厚度沿齿宽方向上不变，为0.6 μm；倾斜分布表示入口油膜厚沿齿宽方向线性增加或减小变化；凹形分布表示入口油膜厚度在齿宽中间较薄，在两边较厚；凸形分布与凹形分布相反，入口油膜厚度在齿宽中间较厚，而两边较薄。

图12 不同入口油膜厚度分布曲线(hoil=0.6 μm,Km=0.8 μm,Am=0.4 μm)

图13—15在平均入口油膜厚度hoil=0.6 μm条件下分别给出4种入口油膜厚度分布条件下压力、油膜厚度和部分油膜厚度比例曲线。图13(a)表明,在Y=0截面上，由凹形入口油膜厚度计算得到的中心压力最小且二次压力峰不明显，由于凹形入口油膜厚是在齿宽中部供油不足造成的，由另外三种入口油膜厚度形状计算的压力几乎无差别。图13(b)给出在X=0截面上压力分布，表明沿齿宽方向上压力的分布受入口油膜厚度分布影响，与入口油膜分布相似。

图13 不同入口油膜分布条件下Y=0截面(a)和X=0截面(b)压力变化曲线(hoil=0.6 μm，Km=0.8 μm，Am=0.4 μm，Tout=420 N·m，nin=500 r/min)

图14表明,在Y=0截面上，凹形入口油膜厚度分布计算得到的膜厚最小，凸形入口油膜厚度分布计算的膜厚最大。在X=0截面上,膜厚分布受到入口油膜厚度分布的影响，与入口油膜厚度分布相似。

图14 不同入口油膜分布条件下Y=0截面(a)和 X=0截面(b)膜厚变化曲线(hoil=0.6 μm，Km=0.8 μm，Am=0.4 μm，Tout=420 N·m，nin=500 r/min)

凸形分布计算的膜厚在齿宽中间较大，在两边最小；而凹形分布计算的膜厚在齿宽中间较小，在两边较大。图15表明,在Y=0截面上，凸形分布计算的部分油膜厚度比例θ=1.0的区域最大。在X=0截面上不同入口油膜厚度分布对部分油膜厚度比例几乎无影响。表明沿齿宽方向上的压力和膜厚的分布受到入口油膜厚度分布的影响，形状与入口油膜厚度分布相似。

图15 不同入口油膜分布条件下Y=0截面(a)和X=0截面(b)部分油膜厚度比例变化曲线(hoil=0.6 μm，Km=0.8 μm，Am=0.4 μm，Tout=420 N·m，nin=500 r/min)

进一步讨论供油量和工况变化对压力和膜厚分布的影响。图16给出凸形入口油膜厚度分布条件下，压力和膜厚随供油量变化曲线。

图16 不同供油量下X=0截面凸形入口油膜厚度分布(a)，齿宽方向上压力和膜厚分布(b，c)随凸形入口油膜厚度的变化(Am=0.3 μm，Tout=420 N·m，nin=500 r/min)

图17给出在倾斜入口油膜厚度分布条件下压力和膜厚随供油量变化曲线。随着入口供油量增加，入口油膜厚度的分布对齿宽方向上的压力和膜厚分布影响减小，压力和膜厚趋于均匀分布。充分供油条件下，可以忽略齿宽方向上入口油膜厚度不均匀性对压力和膜厚分布的影响，但在乏油条件下不能被忽略。

图17 不同供油量下X=0截面倾斜入口油膜厚度分布(b)，齿宽方向上压力和膜厚分布(b，c)随倾斜入口油膜厚度变化(Km=0.8 μm，Tout=420 N·m，nin=500 r/min)

图18给出凸形入口油膜厚度分布条件下，齿宽方向上压力和膜厚分布随速度变化曲线，平均入口油膜厚度hoil=0.6 μm，幅值Am=0.4 μm。

图18 凸形入口油膜厚度分布(a)，凸形入口油膜厚度条件下齿宽方向上压力和膜厚分布(b，c) 随速度的变化(hoil=0.6 μm，Am=0.3 μm，Tout=420 N·m)

随着速度增加，齿宽中部的压力增加，膜厚增加，压力和膜厚沿齿宽方向上不均匀程度增加。表明随着速度的增加，齿宽方向压力和膜厚分布受入口油膜厚度不均匀分布的影响增加。

图19给出凸形入口油膜厚度条件下，齿宽方向上压力和膜厚分布随载荷变化曲线，平均入口油膜厚度hoil=0.6 μm，幅值Am=0.4 μm。随着载荷增加，压力增加，齿宽中部的膜厚减小，压力和膜厚沿齿宽方向上均匀程度增加。表明随着载荷的增加，齿宽方向压力和膜厚分布受入口油膜厚度不均匀分布的影响减小。

图19 凸形入口油膜厚度分布(a)，凸形入口油膜厚度条件下齿宽方向上压力和膜厚分布(b，c)随载荷的变化(hoil=0.6 μm，Am=0.4 μm，nin=500 r/min)

4 结论

引入部分油膜厚度比例，以入口油膜厚度来表征乏油程度，建立摆线针轮有限长线接触乏油润滑数值模型，研究沿齿宽方向上不均匀分布的入口油膜厚度对压力和膜厚分布的影响，得到以下结论：

(1)乏油条件下，随着入口供油量增加，入口油膜厚度的不均匀分布对齿宽方向上的压力和膜厚分布的影响减小；充分供油条件下，可以忽略沿齿宽方向上入口油膜厚度的不均匀性对压力和膜厚分布的影响。

(2)乏油条件下，随着速度的增加，齿宽方向压力和膜厚分布受入口油膜厚度不均匀分布的影响增加；随着载荷的增加，齿宽方向压力和膜厚分布受入口油膜厚度不均匀分布的影响程度减小。