产生椭圆或双曲线的各种方式

吕荣春　郭爱平

摘要：本文结合新课标高中数学人教A版选修2-1和高考题总结了椭圆和双曲线产生的多种方式，理解这些产生的方式有助于更全面的认识圆锥曲线，也有助于高效的解题.

关键词：双曲线;几何意义;圆

2 圆中中垂线和半径的交点

例2如图1，已知圆0的半径为定长r，圆内一点A与圆上点P连线的中垂线与半径OP相交于点Q，若点P在圆上运动，则点Q的轨迹方程是什么？

解析 由题知|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=r>|OA|.则Q的轨迹方程是以O，A为焦点的椭圆.

变式1 （2013年陕西文）已知动点M（x，y）到直线l：x=4的距离是它到点N（1，0）的距离的2倍，求动点M的轨迹C的方程.

变式2 已知动圆P过定点F（O，1），且与定直线y= -1相切.则动圆圆心P的轨迹W的方程为____.

变式3（2014年福建文）已知曲线Г上的点M到点F（O，1）的距离比它到直线y= -3的距离小2.求曲线，的方程.

变式4 （2014年湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.求轨迹C的方程.

注 变式4与变式3的区别在于点M可以在直线的两侧.

变式3 （2010年北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点0对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于一1/3.求动点P的轨迹方程;

变式4 （2011年湖北）平面内与两定点A1（-a，0），A2（a，0）（a>0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线G可以是圆、椭圆或双曲线，求曲线C的方程，并讨论G的形状与m值得关系，

变式3 （2012年湖北）设A是单位圆x²+y²=1上的任意一点，Z是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足| DM|=m|DA|（m>0且m≠1）.当点A在圆上运动时，记点膨的轨迹为曲线C.求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标.7用平面去截圆柱

例7（2008年浙江卷理）如图5，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得AABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）.

A.圆

B.椭圆

C.一条直线

D.两条平行直线

解析 由AABP面积为定值且AB不变知点P到直线AB的距离不变.

在空间中到定直线等于定长的点的轨迹为圆柱.

图中点P的轨迹可以视为用平面a去截一个斜放的圆柱，截面为椭圆.

变式（2013年天津）設B，C是定点，且都不在平面π上，动点A在平面百上且sin∠4BC=1/2，那么点A的轨迹是（ ）.

A.圆或椭圆

B.抛物线或双曲线

C.椭圆或双曲线 D.以上皆有可能

8 其他方式

例8（2013年陕西）已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得弦MN的长为8，求动圆圆心的轨迹C的方程.

参考文献：

[1]吕荣春.全国卷高考数学分析及应对[M].成都：四川大学出版社，2018.

[2]吕荣春.解析几何的系统性突破[M].成都：电子科技大学出版社，2017.