高考“函数基本性质”专题分析

杨小兵　胡丹

摘要：本文以2018年全国高考试题为载体，分析了函数基本性质考题分布情况，并对典型题型进行解析.

关键词：函数;基本性质;专题分析

克莱因曾说：“函数是数学的灵魂.”函数贯穿整个高中是学习的重点，同时也是高考的重点、热点和难点[l].高中的函数类型有常值函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数（反三角函数）、抽象函数.高中范围内对函数的本质可理解为：取值集合为“非空集合”，对应时要求“单值对应”[2].大部分高中学生对函数的理解不够深刻，也不知道该从哪些方面去理解和学习函数，其实高考对函数的考查可以给我们一定的方向.本文以近年的高考函数基本性质的典型题型为例，表明应从函数的图象、单调性、奇偶性、周期性、对称性、有界性、凹凸性等方面來理解和学习函数.

1 函数在高中数学中的地位

1.1 函数在教材中的位置

函数编排在人教A版必修1的第一章，承接初中函数概念中的“变量说”定义域存在局限，进而在高中函数概念中通过集合语言建立“对应说”弥补这个局限性[2]，为后面学习指数函数、对数函数、幂函数等奠定了基础.函数是描述客观世界变化的基本模型，贯穿整个高中学习，函数思想渗透到数学学习的方方面面.

1.2 新课程标准对函数的要求

在新课标中，强调通过丰富的实例，利用集合与对应的语言来刻画函数;强调从实际背景和定义两个方面对函数本质的理解;强调通过具体的函数理解函数的单调性，了解函数的奇偶性，学会运用函数图象理解和研究函数的性质[3].

1.3 函数在2018年高考试题中的地位

通过对2018年高考函数基本性质考题分布情况的统计，全国卷有3 -6道考题，分值比重占全卷的21.3%;天津卷有3-5道考题，分值比重占全卷18%;浙江卷有4道考题左右，分值比重占全卷18%;江苏卷有4道考题左右，分值比重占全卷18%.全国各个地方对函数的性质的考查大致相同，但是各有侧重，总的分值并无较大变化，且以简单题和中档题为主，考查学生对函数本质的理解和函数“基本性质”的综合运用，对函数的图象、单调性、奇偶性、周期性、凹凸性、考查较多.

1.4 考题分布情况

评注 例1属于直接对函数图象进行考查，给出函数的解析式，判断函数图象，第一步先判断函数为奇函数或者偶函数，若为奇函数，图象关于原点对称，若为偶函数，图象关于y轴对称;第二步带特殊点进行验证，若需要判断函数图象的单调性，则需要求导数判断.例2是对函数图象的间接考查，如求解分段函数参数范围、函数的零点、线性规划等问题往往也需要画出函数图象帮助分析，使问题更为直观，数离不开形，形离不开数，其中渗透着数形结合的思想.

评注 利用求导，判断函数在定义域上的单调性，进而求得答案，在利用换元法时一定要注意“换元必换限”.还有一类函数的表达式比较复杂，若直接进行计算，计算量非常大，不具有可行性，最主要观察函数是否具有奇偶性、周期性，并计算函数的导数，结合函数的单调性将比较函数转化为其自变量绝对值大小的比较，例：若已知函数的表达式，且f（x）为偶函数，求f（cx）≥f（ ax+b）成立的x的取值范围，则可转化为|cx|>|ax+b|.

评注 利用三角函数的有界性（|sinx|≤1，|cosx|≤1）求函数值域、最值、证明不等式有着非常重要的作用.利用三角换元t= sinx（XER），则t∈[ -1，1]，也是利用三角函数有界性的常用手法.

2.7 函数凹凸性型

参考文献：

[1]赵思林.初等代数[M].北京：科学出版社，2017.

[2]李袆，函数概念的本质与定义方式探究[J].数学教育学报，2013，22（6）：5 -8.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.