一类反应扩散系统全局吸引子的存在性

李军燕，武瑞丽

(四川大学 锦城学院，四川 成都 611731)

经典的全局吸引子存在性理论要求半群一致紧条件，而该条件要对偏微分方程的解做出一致有界的估计，这在实际中是比较难做到的.马天等[1]将一致紧条件减弱为一个有限维逼近的条件，称为C-条件，来取代一致紧条件，该理论使其在偏微分方程中的应用更为方便.文献[2-3]详细讨论了这种方法，文献[4-9]采用该方法给出了三维波方程全局吸引子的存在性.

本文在已有文献的基础上，利用C-条件全局吸引子理论来证明一类反应扩散方程全局吸引子的存在性.具体地，本文考虑以下方程[10-14]全局吸引子的存在性.

在种群动力学中，式(1)表示一类食饵捕食模型，式中：u(x,t)和v(x,t)分别为两种群在时刻t和空间位置x处的种群密度；d1>0,d2>0为扩散系数；参数s,m,r均大于零.

1 准备工作

本文在空间D=(u，v)|u≥0，v≥0下考虑初边值问题(1)全局吸引子的存在性.

定义空间如下：

X=L2(Ω,R+)2,Y=H1(Ω,R+)2,

L2(Ω,R+)=u|u∈L2(Ω),u≥0,

H1(Ω,R+)=u|u∈H1(Ω),u≥0,

则L2(Ω,R+)⊆L2(Ω),H1(Ω,R+)⊆H1(Ω).

定义范数和内积如下：

为了方面后文的应用，首先由以下引理和定义证明系统(1)解的存在性.

引理 1 对(u0,v0)∈X，方程(1)存在唯一的整体解(u(t),v(t))∈X，满足

(u,v)∈L2([0,T],Y), ∀T>0，

则对∀(u0,v0)∈Y，定义

S(t)∶(u0,v0)∈X→(u,v)∈X.

由此定义了一个从X到X的算子半群，使得式(1)的解(u(t),v(t))可表达为

(u(t),v(t))=S(t)(u0,v0), ∀(u0,v0)∈X.

定义 1(C条件的定义)[1]一个定义在X上的算子半群S(t)t≥0称为是满足C条件的，如果对任何有界集B⊂X和ε>0，存在有tB>0和一个有限维子空间X1⊂X，使得‖PS(t)B‖X是有界的，并且

‖(I-P)s(t)x‖X<ε, ∀t≥tB,x∈B，

式中：X→X1为一个规范投影.

引理 2(C条件全局吸引子存在性定理)[1]令S(t)是定义在X上的一个算子半群，如果下面条件成立：

1) 存在一个有界吸收集B⊂X，

2)S(t)满足C条件，

那么S(t)在X中有一个全局吸引子A，并且A=ω(B)在X的范数下吸引X中的任何有界集.

2 主要结论及证明

2.1 有界吸收集的存在性

定理 1 式(1)生成的解析半群{S(t)}t≥0在X中存在有界吸收集，记为BR，即对X中的任何有界集B，存在T0>0，使得当t>T0时，有S(t)B⊂BR.

证明 首先，在式(1)的第一个方程两边用u同时做内积，得

|Ω|(1+d1)3=C1Ω,

(2)

式中：C1=(1+d1)3.

由于 ‖u‖L2(Ω)≤‖u‖H1(Ω)，得

于是，利用Gronwall不等式得

(3)

同理，在式(1)的第二个方程两边用v同时做内积，得

(4)

(5)

由式(5)及‖v‖L2(Ω)≤‖v‖H1(Ω)，得

利于Gronwall不等式，得

(6)

S(t)(u0,v0)=(u(t),v(t))∈BR,t>T1,

式中：BR为以原点为中心，R为半径的球.于是定理1得证.

2.2 C-条件的验证

根据引理2和定理1，只需验证C-条件成立.下面特征值问题

有一个无穷的实特征值序列

λ1≥λ2…≥λk≥…,λk→-∞,k→∞.

u=u1+u2,v=v1+v2,

式中：

由定义 1，只需要证明对任何有界集B⊂X，及ε>0，存在t0>0，使得

‖P1S(t)B‖X≤M, ∀t>T0,M为某一常数，

(7)

‖P2S(t)(u0,v0)‖X≤ε, ∀t>T0,

(u0,v0)∈B.

(8)

由于BR是式(1)的有界吸收集，故对任何有界集B⊂X，存在T0>0，使得S(t)B⊂BR, ∀t>T0，即式(7)成立.

下面证明式(8)成立.

对式(1)的第一个方程两边做内积，得

两边关于t积分，得

(9)

式中：δ>0，为待定常数.且注意到

同时由-N>λj, ∀j>k+1, 有

λ=max{λ1,λ2,…,λk},

(10)

所以

(11)

另一方面，由poincre不等式，得

(1-δ)·2d1〈△u,u〉=-(1-δ)·

(12)

同时，由带ε的Cauchy不等式及引理 2，得

(13)

由式(9)，(12)和(13)得

(14)

由Gronwall不等式，可得

于是，存在T1，使得t>T1，有

于是C-条件式(7)，(8)得到验证.现可以给出关于全局吸引子的存在性定理.

定理 2 设Ω为有界光滑区域，则初边值问题(1)生成的解析半群S(t)t≥0在X中存在全局吸引子A，且A在范数X下吸引X中的任何有界集.