挖掘教材资源,发展数学思维

祁建萍

[摘要]数学学习不仅只是学习教材上所呈现的数学知识，而且要通过教材提供的素材进行联想和加工，将已学的知识纳入新的知识结构之中，运用已学的知识与新知识之间的联系来解决新的问题。数学教学一个重要的内容是通过一定的经验积累形成一定的数学模型，来实现数学学习的思维价值。“鸽巢问题”又可以称之为鸽巢原理、抽屉原理，或者可以称之为狄利克雷原理。鸽巢问题在数学问题和实际生活中占有重要的作用，许多问题和现象都可以利用鸽巢原理进行解决。

[关键词]数学模型;理性思维;逻辑思维;归纳推理

通过鸽巢问题的学习，引领学生构建相应的逻辑思维能力，培养理性思维意识，是当下小学数学教育的一个重要方向。当下利用鸽巢问题培养小学生的数学思维具体过程为：

1.通过对实际问题或者现象的猜测、验证、观察、分析，初步了解“鸽巢问题”，会用鸽巢原理解决简单的实际问题，渗透“建模”思想。

2.帮助学生建立从具体到抽象的分析过程，提高学生独立思考和推理的能力。

3.通过鸽巢原理模型构建，使学生感受到数学的魅力，提高学生学习数学的兴趣。

一、读懂教材插图，挖掘发展学生思维契机

对于刚接触鸽巢问题的学生来说，直接给出鸽巢原理，学生是很难理解该原理的实际含义，如“总有一个筒至少放进2支笔”这句话对于学生而言，不仅说起来生涩拗口，而且抽象难以理解，这样无法达到构建学生相应理性思维的目的。

在最新的人教版六年级下册数学课本中，为了方便学生对于鸽巢问题的学习和掌握，配备了大量的插图，教师可以利用这些教材插图在具体的教学过程中，先将抽象问题直观化，用具体、明确的插图实例对学生进行启发。如教材上的图例所示，教师按照图上的语言描述和学生一起做“变魔术”游戏，即：将一副牌中取出大、小王，让学生随意从余下的牌中抽5张，观察牌的花色情况，然后教师不进行观看，直接对学生说“至少有2张牌是同花色的”。

还可以按照后续的图例带領同学们做一个 “放铅笔”游戏。其游戏具体的规则为：准备4只钢笔和3个笔筒，让同学们依次完成放铅笔的活动，但是后面的同学不能和前面的同学放的样式相同，让一个学生进行记录，整个过程教师不进行观看，直接对学生说“总有一个笔筒至少放进2支铅笔”。

随后，教师对游戏的结果提出问题：

1.这句话里“至少”是什么意思？

2.“至少有2张牌是同花色的”或者“总有一个笔筒至少放进2支笔”是什么意思？

3.教师为什么不进行观看就可以得出结论？

在此教学过程中，通过学生亲身经历的事物结合实际图画教学，激发学生学习兴趣，使学生积极投入到后面问题的研究中。并通过“总有” “至少”等词汇，让学生初步经历数学证明的过程，训练学生的逻辑思维能力和理性思维分析能力。

二、利用教材编排意图，设计发展学生思维活动

数学教学一个重要的内容是通过一定的经验积累形成一定的数学模型。在当下，数学模型最早历史可以追溯到古代人们对于数字的使用，并随之而来建立的各种数学模型。美国教育学家戴尔认为：在经验之塔中，越靠近底层，其表述的事物越具体，反之越趋抽象。在进行小学数学教育过程中，应该从经验之塔最初的底层开始，逐步进行抽象化。在平时的教学过程中教师不能仅止步于具体经验进行教学，而是要通过收集、分析这些具体经验后，形成抽象和普遍发展的概念。所以，在进行实际的教学过程中，要有针对性地设计教学过程，并使学生获取理性的分析，形成一定的理性思维。

在人教版六年级下册数学教材中的图例是按照一定的数学逻辑思维进行设计的。如在上述游戏中，我们将4支铅笔放进3个笔筒中，无论如何放置铅笔，总会有一个笔筒里至少有2支铅笔;教师将分析的过程按照教材编排意图一一对学生进行演示。同时，在演示结束后可以对游戏进行进一步扩展，如果把5支铅笔放进3个笔筒，总有一个笔筒至少放多少支铅笔？如果把8支铅笔放进3个笔筒，总有一个笔筒至少放多少只支笔？

通对这些基础经验总结：

4÷3=1……1

5÷3=1……2

8÷3=2……2

教师带领学生引出规律：至少数=商+1。

教师通过对规律的循序讲解，在初次发现规律的基础上，从“至少2支”得到“至少商+余数”个，再到得到“商+1”的结论。逐步构建了数学模型，并通过对数学模型的学习，深化了学生理性思维构建。

三、巧用教材习题设计，开拓发展学生思维路径

对于小学生在思维路程的演练与形成中，由于自身的经验和知识储备不足，对于刚刚形成的数学模型还不能熟练运用。为了进一步开拓发展学生思维，可以通过将上述构建的数学模型结合教材习题，进行进一步训练。如：从“至少2支”得到“至少商+余数”个，再到得到“至少数=商+1”的结论，既是构建模型的过程，也是运用模型的过程。由于鸽巢问题在实际生活中的应用是千变万化的，可以利用鸽巢原理解决实际生活中许多有趣的问题，在进行实际问题解决时，我们就不用按照前面求解的过程，进行重复性工作。只需要学生通过前面的学习，抽象出具体的鸽巢原理模型——“至少数=商+1”，即可以运用该模型熟练地解决一些实际问题。

例如，小明总共有5只钢笔，他想将这5只钢笔放入4个钢笔盒中，请问这4个钢笔盒中总有一个至少要放入几个？

按照我们前面构建的鸽巢原理模型：至少数=商+1

因为有5只钢笔、4个钢笔盒，所以5÷4=1……1，至少数=1+1=2。得出：4个钢笔盒中总有一个至少要放入2个。利用该鸽巢原理模型既可以很快地解决问题，又使得学生的抽象能力和理性分析能力得到提升。

四、利用教材弹性内容，深挖发展学生思维方向

小学阶段是学生学习的黄金时期，建立并提高小学生的思维能力也是当前数学教育的重要目标之一。鸽巢问题在当下生活中经常遇到，通过实际的问题构建出鸽巢原理——“至少数=商+1”，不但能够使学生从数学的角度进行问题分析、探究，还能够有效地培养学生的逻辑思维能力和归纳推理能力。数学学习最终目的是用来解决实际问题，所以在进行学生的思维训练时，不能仅局限在书本的例题或者习题中，应该合理地利用教材弹性内容，发展学生思维方向，真正实现对学生理性思维的高效培养。

1.教材分析

首先，教师应该针对小学数学教材中《鸽巢问题》相关的教材内容进行分析。教材内容具有显著的递进关系，主要帮助学生掌握基础的“抽屉原理”，并且对“至少”、“总有”这两个关键词给予正确认识，进而获得假设、枚举这类理性的数学思维方法，再对基本概念的抽象化进行解读，使“抽屉问题”更加一般化，从而使学生掌握利用“抽屉问题”解决现实问题的思路和技能，使学生的理解能力和应用能力得到进一步提升。分析教材内容可知，理性思维教学应该重点突出以下几个方面：

其一，教学内容应该充分揭示课题，使学生对“鸽巢问题”有正确认知。这一阶段应该充分考虑学生的认知规律和学习习惯，并且从拓展知识内容、丰富学生视野的角度出发，对学生的学习兴趣给予有效激发。为此，课上应先用多媒体设备对鸽子的图片进行演示，并且询问学生看到图片后的联想。在谈话引入的方法下，学生逐渐进入“鸽巢问题”这一主题。

其二，教学内容应该对列举和枚举的数学思维方法及其选择应用进行充分体现。在实际教学中，通过一个实际例题引导学生自主探究：如果要把4个篮球放在3个筐里，一共有多少种方法。课上采用小组合作探究的方式，先以小组为单位给出答案，然后全班一起讨论是否有更多的可能性。在所有可能都被列举的情况下，就被称为枚举。

其三，引导学生对“至少”和“总有”这两个概念进行区分。在课上举出实例，要求学生在完成上述例题时做到“总有1个筐里至少放进2个篮球”，然后学生对枚举出的方案进行观察和分析，并且进行记录对比。在实践操作的过程中，使学生理解这两个概念的涵义和不同。

其四，在课程教学中对数学思维方法进行渗透，帮助学生增强逻辑思维能力和抽象思维能力。在课上，由教师引导学生根据例题实践演练，在具象思维的基础上进行枚举，并作出简单的假设和推理，然后以多媒体课件的形式进行逻辑推理，验证学生的一些假设，将具象思维转变为抽象思维，使特殊事物转变为一般事物，提升学生的概括归纳能力，并且探究总结背后蕴含的规律，构建出解决问题的思维模型。

其五，将课堂教学与实际生活相联系，帮助学生掌握理论知识的实践应用能力。为此，教师安排课后的学习任务，要求学生发现生活中的待分物体，并且用“列举和枚举”“总有和至少”的知识进行实践操作，从而使学生的自主思维及实践能力得到提升。

2.教学目标

为保障教学质量，教师必须制定科学明确的教学目标，并且对教学中的重点部分和难点部分给予明确。就教学目标来看，主要包括以下几个方面：

其一，引导学生对“鸽巢问题”进行自主探究，并且对“抽屉原理”给予初步明确，同时能够利用这一原理解决简单的实际问题。

其二，引导学生探究“鸽巢问题”背后的规律，并且能够做出简单的假设、推理和分析，构建出数学思维模型。

其三，激发学生学习数学的兴趣，提高学生解决数学问题的能力，培养学生的理性思维。其中教学的重点目标在于引导学生自主探究“鸽巢问题”，并掌握“抽屉原理”的基本规律及应用能力。教学的难点目标在于培养学生的理性思维，能够将简单的数学问题逻辑化和模型化。

3.教学设计

在对教学活动进行设计时，教师必须以教学目标作为根据和指导，并且对教学重点给予突出展示，对教学难点进行关键性突破，从而使学生的自主探究兴趣得到切实激发，能够以理性的数学思维模式解决实际问题。具体来看，教学活动设计主要包括以下几方面内容：

其一，通过谈话引入课题。在课上，教师先用多媒体设备播放鸽子及巢穴的图片，激发学生的联想能力。一些学生联想到“飞鸽传书”，一些同学联想到“世界和平”，还有一些同学提出“鸽巢问题”，教师联系实际生活顺势提出问题：“如果有3个笼子，4只鸽子飞入这3个笼子会出现几种情况”，然后让学生以小组为单位进行讨论。

其二，通过实践操作加深理解。为了使学生的思维更加具象化，教师引导学生用课前准备好的篮球和球筐进行演练，并且提出几个具体的研究课题，分别是“将4个篮球放到3个球筐里总共出现的情况”“将5个篮球放到4个球筐里总共出现的情况”“将6个篮球放到5个球筐里总共出现的情况”。探究过程采取小组合作的方式，每个小组将实践的结果列举在卡片上，最后枚举出所有的可能性，然后在全班范围内进行补充交流，保证枚举结果的完整性。在此基础上，对三种结果进行对比，发现无论采用何种方式，每个问题都会出现“总有1个球筐里至少放进2个篮球”，因此，由特殊現象推理出一般现象，使“抽屉问题”的原理得到明示。

其三，对“抽屉原理”进行初步应用。在自主探究的过程中，教师引导学生对该原理进行简单应用，并且对思维进行拓展。例如提问学生“上述问题都是对物体个数大于抽屉个数1的情况进行研究，那么现实中还会遇到怎样的情况呢”，学生提出“还有大于1的情况，比如多2个、多3个等”。在此基础上，引导学生对“6个物体4个抽屉”“8个物体4个抽屉”“7个物体4个抽屉”“9和物体4个抽屉”的情况进行研究，并且对其中的数学规律进行归纳总结。学生在探究过程中对课上的“篮球”例题进行模仿，将“总有”和“至少”这两个概念带入其中，最后教师要求学生将物体个数表示为a，将抽屉个数表示为n，根据已有的枚举方案表示出其中的规律，发现“a个物体放进n个抽屉”，在a与n相除无余数的情况下，总有1个抽屉中会至少放进b（商）个物体;当有余数的情况下，总有1个抽屉会至少放进（b+1）个物体。

其四，通过知识拓展培养学生综合素质。在获得规律的基础上，教师提问学生“是否知道该规律的最初发现者”，然后通过教材和多媒体引导学生对狄利克雷的生平及成就进行了解，从而拓展课外知识。另外，教师要求学生联系自身的实际生活，对常见的“鸽巢问题”进行总结和分析，从而提升实践能力。

数学思维强弱直接关系到一个人是否能够将具体的问题抽象化，能否充分利用证据和逻辑来实现对某事物或问题认知。当前小学生是学习的黄金时期，建立并提高小学生的理性思维能力是当前数学教育的重要目标之一。鸽巢问题在当下生活中经常遇到，通过实际的问题构建出鸽巢原理——“至少数=商+1”，不但使能够使学生从数学的角度进行问题分析、探究，还能够培养并锻炼学生的理性思维，有效地培养学生的逻辑思维能力和归纳推理能力。

参考文献：

[1] 宋彩红.浅谈小学数学教学中的逻辑思维方法[J].新课程学习（上），2011，（11）.

[2] 杨冬菊.怎样提高小学数学学困生的逻辑思维能力[J].中国校外教育，2009，（S3）.