混合保费收取下带有随机干扰和支付红利的风险模型

(广西民族师范学院数学与计算机科学学院，崇左，532200)

1 引言

在经典风险模型中，总是假设保险公司在单位时间内收到的保费是某一固定常数.但在保险公司的实际业务中，可能跟一些投保人签订协议，在每个单位时间内收取固定的保费，除此之外在单位时间内还会收到不同保费的保单，这可用服从某一分布的随机变量来表示.文献[1-3]将保费推广为服从某一离散分布的随机变量，建立随机保费的风险模型；文献[4-5]提出了带有随机保费收入和随机支付红利的离散风险模型；文献[6]提出了带有随机支付红利的双险种复合二项模型，运用鞅方法讨论了该模型盈余过程的性质，给出了最终破产概率的表达式和Lundberg上界；文献[7-8]将双Poisson风险模型推广为带干扰保费混合收取的风险模型,利用鞅方法讨论了其破产问题.在以上的文献基础上，本文建立混合保费收取下带有支付红利的风险模型，该模型在固定保费收取的情况上，考虑保费的随机化和支付红利，并且随机保费到达过程和理赔过程分别服从参数为λ，μ的Poisson过程，支付红利过程是服从参数为p∈(0,1)的二项随机过程，运用秧方法，研究其盈余过程及调节系数R的性质，进而得到破产概率的表达式和破产上界的Lundberg不等式.

2 风险模型

设u>0，c>0,λ>0,μ>0,σ>0.在给定的完备概率空间(Ω,F,P)上，保险公司的盈余过程为

(2.1)

其中，

(1)u为初始准备金，c是单位时间内保险公司收到固定的保费，{W(t),t≥}是标准布朗运动，表示不确定的收付，σ为干扰系数；

(2){M(t),t≥0}表示在时间区间(t-1,t]内保险公司随机收到的保单数，是参数为λ的Poisson过程，且M(0)=0；Xk表示第k次的索赔额，{Xk}k≥0独立同分布且取正整数值，E(Xk)=μx，且存在二阶矩；

(3){N1(t),t≥0}表示在时间区间(t-1,t]内保险公司发生的理赔次数，是参数为μ的Poisson过程，且N1(0)=0；Yk表示第k次的索赔额，{Yk}k≥0独立同分布且取正整数值，E(Yk)=μy，且存在二阶矩；

(4){N2(t),t≥0}表示在时间区间(t-1,t]内保险公司支付红利的保单数，是服从参数服从参数为p∈(0,1)的二项随机过程，即保险公司在时间区间(t-1,t]内支付红利的概率为p，不支付红利的概率为q，且p+q=1；Zk表示第k次支付的红利额,且当盈余大于或等于给定的非负整数红利界时，保险公司才支付红利，{Zk}k≥0独立同分布且取正整数值，E[Zk]=μz，且存在二阶矩.

(5)假设保险公司收取保费、进行赔付及支付红利均在时间区间(t-1,t]的始端进行，且{Xk,k≥0},{Yk,k≥0},{Zk,k≥0},{M(t),t≥0},{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0}之间是相互独立的.

记盈利为

定义破产时刻为：T=inf{t:t≥0,U(t)<0}(infφ=∞)，破产概率为：

ψ(u)=P(T<∞|U(0)=u).

3 几个引理

引理1[8]盈利过程{S(t),t≥0}具有如下性质：

(1){S(t),t≥0}具有平稳独立增量；

(2)E[S(t)]=(c+λμx-μμy-pμz)t>0；

(3)存在正数r，使得E[e-rS(t)]<∞.

证明

其中MX(-r)=E(e-rX),MY(r)=E(erY),MZ(r)=E(erZ)分别表示个体保单额、理赔额、红利额的矩母函数.

引理3方程g(r)=0存在唯一正根R, 称之为调节系数.

证明根据引理2，对g(r)求导得

再求导得

由施瓦兹不等式知p2E[Z2erZ]·E[erZ]≥p2E2[ZerZ]，因此g″(r)>0，所以g(r)是严格下凸函数.又因为g′(0)=-c-λμx+μμy+pμz<0，g(0)=0，所以存在唯一正数R,使得g(R)=0.

证明对∀v≤t, 有

4 破产概率

定理1风险模型(2-1)的最终破产概率满足Lundberg不等式：

ψ(u)≤e-Ru,

其中，R=sup{r:g(r)≤0}.

证明因为T是ξs停时，对任何t0≤∞，t0ΛT仍是ξs停时，由引理4及停时定理，有

e-ru=Mv(0)=E[Mv(t0ΛT)]=E[Mv(t0ΛT)|T≤t0]P{T≤t0}

+E[Mv(t0ΛT)|T>t0]P{T>t0}≥E[Mv(t0ΛT)|T≤t0]P{T≤t0}

=E[Mu(T)|T≤t0]P{T≤t0}.

(4.1)

因为当T<∞时，有u+S(t)≤0，故

定理2风险模型(2.1)的最终破产概率为

其中R为调节系数.

证明在(4.1)式中取r=R得

e-Ru=E[e-RU(T)|T≤t0]P{T≤t0}+E[e-RU(t0)|T>t0]P{T>t0}.

(4.2)

以I(A)表示集合A的示性函数，则

0≤E[e-RU(t0)|T>t0]P{T>t0}=E[e-RU(t0)I{T>t0}]≤E[e-RU(t0)I{U(t0)≥0}].

由于0≤e-RU(t0)I{U(t0)≥0}≤1，根据强大数定理可知，当t0→∞时，U(t0)→∞a.s.

故由控制收敛定理知

在(4.2)式两端令t0→∞，即得定理结论.