待定系数法在空间直角坐标系中的应用

张神驹

在解决某些问题时，先设出一些字母来表示待定的系数，然后根据问题的条件逐步确定这些待定字母的值，进而解决问题，这样的解题方法我们称之为待定系数法.它是数学中的一种重要解题方法，

应用广泛，本文以质检与高考试题为例，谈谈待定系数法在空间直角坐标系中的应用.

1 利用待定系數法确定点的坐标

建立空间直角坐标系是解决立体几何的一种重要手段，然而关于空间直角坐标系数的建立，教材与杂志的一些文章中，强调具有垂直关系，特别是有长方体或有线面垂直时才使用.其实不然，按照空间直角坐标系的定义，可选取空间中任一点为原点，以原点出发的三条两两垂直的射线分别为x，y，z轴，且满足右手系即可建立直角坐标系.这说明了空间直角坐标系的建立具有普遍意义，当然在实际应用中我们应该选择便于计算的空间直角坐标系.

例1 （2018年宁德市高三第一次质检）如图l，矩形ABCD中，AB=6，AD=2√3，点F是AC上的动点.现将矩形ABCD沿着对角线AC折成二面角

分析 立体几何综合问题中，将平面图形翻折成空间几何体是质检与高考试题中经常出现的一种题型.对于翻折立体几何问题一定要理清翻折前后的不变关系和不变量，通常在折痕同侧的位置关系、角度的大小保持不变;而在折痕异侧的两点线段长度、角度及位置关系都有变化，这点是解决此类问题的关键所在.同时也往往是学生的薄弱点，不仅需要较好的运算能力，也需要较强的空间想象能力.本题正好考查学生的弱点，实测中得分率较低.那么能否直接建系解决呢？答案是肯定的，由于矩形沿对角线的折叠过程中，始终保持D′A=DA=2√3，D′C=DC=6，随着D′B=√30，则D′的位置就确定了，因而用坐标法较几何法容易.我们以B为原点，BC，BA所在直线为x，y轴，过B点垂直于平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用待定系数法求出D′点坐标，实现问题解决.

解（I）以B为原点，Bc，BA所在直线为x，y轴，过B点垂直于平面ABC的垂线为z轴，建立如图2所示空间直角坐标系.

设平面AD'F的一个法向量为m=（x，y，z），

设平面BD′F的法向量为m=（x，y，z），

例2 （2006年高考江西卷·理20）如图3，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD，ACD是全等的直角三1，另一个侧面是正三角形.

（I）求证：AD⊥BC;

（n）求二面角B-AC-D的大小;

（III）在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置;若不存在，说明理由.

分析 题设中虽没有更多的垂直关系，但仍可建立空间直角坐标系，应用待定系数法确定点的坐容易证∠BDC=90°，所以以D点为原点，BD，CD所在直线分别为x，y轴，过D垂直平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用待定系数法，确定A点坐标，实现问题解决.

解（I）

又BD=CD=1，

则BC2=BD2+CD2，

所以∠BDC=90°.

以D点为原点，BD，CD所在直线分别为x，y轴，过D垂直平面BCD的直线为z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系.由BD=CD=1，

有D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），

设A（x，y，z）（z>0），

∴DA=（1，1，1），BC=（-l，1，0），DA.BC=0，

故AD⊥BC.

同样地，我们还可以以B点为原点，BD，BA所在直线分别为y，z轴，过B垂直平面ABD的直线为x轴，建立空间直角坐标，确定C点坐标.或以D点为原点，DC，DA所在直线分别为y，z轴，过D垂直平面ACD的直线为x轴，建立空间直角坐标，确定B点坐标，等等.

通过以上例题分析，待定系数法，使得空间直角坐标系的建立更具有多样性、灵活性、简易性.

2 利用待定系数法确定平面的法向量

平面法向量是向量法解决立体几何问题的关键所在，立体几何中的平行、垂直的证明;角和距离的计算等问题都有涉及.利用待定系数法确定平面的法向量解决立体几何问题，方法简便，易于操作，可避开传统几何法中引辅助线、作图、证明的麻烦，又可弥补空间想象能力的不足，发挥代数运算的长处.平面法向量将在解题中起到越来越大的作用.

2.1 利用法向量求点到平面的距离

例3 （2006年高考福建卷·理18）如图5，四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA=CB

（I）求证：AO⊥平面BCD;

（n）求异面直线AB与CD所成角的大小;

（In）求点E到平面ACD的距离.

分析有了第一小题的结论，建立空间直角坐标系就显得容易.然而，评卷中发现有部分考生，以O为原点，OB，OC，OA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系来证明第一小题，默认AO⊥平面BCD，这显然犯了循环论证的错误.那么，能否直接建系证明第一小题呢？答案是肯定的，我们以O为原点，过O点垂直于平面BCD的垂线为z轴，利

用待定系数法求出A点坐标，发现其在z轴上，得到AO⊥平面BCD，这样既能证明第一小题又可以避免逻辑性错误.

解（I）以O为原点，OB，OC所在直线分别为x，y轴，平面BCD的垂线为z轴，建立如图6所示的空间直角坐标系.设A（x，y，z）（z>o），

2.2 利用法向量求直线与平面所成角

例4 （2013年高考新课标I卷·理18）如图7，三棱柱ABC-A1BlC1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.

（I）证明AB⊥A1C;

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.

解（I）取AB中点E，连结CE，A1B，A1E，

如圖8，∵AB=AA1，∠BAA1=60°，

∴△BAA1，是正三角形，

∴A1E⊥AB，

∵CA=CB，

∴CE⊥AB，AB⊥A1C.

（Ⅱ）由（I）知CE⊥AB，EA1⊥AB，

又∵面ABC⊥面AA1B1B，

面ABC∩面AA1B1B=AB，

∴EC⊥面AA1B1B，

EC⊥EA1，

∴EA，EA1，EC两两垂直.

以E为坐标原点，EA为x_轴正方向，|EA|为单位长度，建立空间直角坐标系O-xyz（图9），

2.3 利用法向量求二面角

例题参见例2 （n）.

解 由例2第（I）题所建的空间直角坐标系，

可得CA=（1，o，o），CD=（o，一1，o），

设平面ACD的法向量为m=（x，y，z），

3 利用待定系数法解决探索性、存在性问题

探索性问题常以“是否存在”、“当…时，求证：…”等形式设问，这类问题涉及点的运动性和不确定性，用传统几何法解决难度较大，而利用空间向量的待定系数法相对较简单.立体几何中平行、垂直、角与距离等都可作为探索性问题的背景和题材，知识面广，方法灵活，对考生的基础知识与解题能力有较高要求，也是高考考查学生创新能力的重要题型.

3.1 利用共线关系解决问题

例题参见例2（III）.

解 设线段AC上存在点E，使ED与平面BCD

3.2 利用共面关系解决问题

例5 （2009年高考浙江卷·理20）如图10，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16.PA=PC=10.

（I）设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE;

（n）证明：在△ABO内存在一点M，使FM上平面BOE，并求点M到OB，OA的距离.

证明（I）如图II，连结OP，∵平面PAC⊥平面ABC，O为AC的中点，∴PO上平面ABC，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则0（0，o，o），A（O，一8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F（4，0，3），由题意得G（O，4，0），因OB=（8，0，0），OE=（o，-4，3），因此平面BOE的法向量n=（o，3，4），FG：（-4，4，-3），∴n.FG=O.又直线FG∈平面BOE，故FG//平面BOE.

（Ⅱ）设点M坐标为（xo，Yo，0），则FM=（xo-4，Yo-3），因为FM⊥平面BOE，所以FM//n，因此平面直角坐标系xOy中，AABO的内部区域满足不等组，故在AABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE，

4 利用待定系数法解决体积问题

体积问题，利用几何法求高，常需要确定射影位置，这往往增加解题难度，采用空间向量待定系数法确定点的坐标，可以轻松解决问题.

例6 在斜三棱柱ABC-A1B1C1，∠BAC=90°，BC1角，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.

解 以A为原点建立如图12所示的空间直角坐标系，由已知得A（O，0，0），B（O，2，0），C（2，0，0），

设A（x，y，z），AA1= CC1，

∴Cl（x+2，y，z），

BC1= （x+2，y-2，z），

由BC1⊥AC，

∴BC1.AC=O，则x=一2①，

点评 本题利用待定系数法，避免分类讨论.比传统几何法简单，对于本题的传统几何法有兴趣的读者，可以阅读参考文献[1].

在立体几何中，充分利用向量解决立体几何问题，是当今国际几何教学的主要渠道，向量是代数与几何沟通的桥梁，用不着挖空心思去寻找各种位置关系，也避免各种辅助线的添加，充分展示向量几何的魅力.还有现成的夹角公式、距离公式、法向量计算公式、共线关系式等等，使几何问题代数化有了保证.巧妙地应用待定系数法，能更好地发挥空间向量在立体几何中的作用.当然，逻辑推理方法（传统几何法）与向量方法不偏不倚，“双管齐下，择优而用”才是解决问题的最佳途径.

参考文献

[1]李雪明，陈斌，空间点的射影定位的探讨[J].数学教学，2005 （9）：