在专题复习教学中发展学生运算能力

洪妍妍

运算能力是数学基本能力发展的一项重要指标，主要是指能够根据运算法则和运算律正确地进行运算的能力.教学中发展学生的运算能力要让学生实现从“认知阶段”到“联系阶段”再到“自动化阶段”的进阶.培养学生的运算能力应该关注对学生运算思路和运算方法的点拨，侧重从以下4个环节进行引导：分析运算条件、寻找运算算理、选择运算方向、优化运算方法.现以“配方法”复习教学为例，谈谈如何发展学生的运算能力.

1 教学案例再现

配方法的复习教学是发展学生运算能力的一个很好的契机，依据如下：

第一，配方是对完全平方公式的逆用变形，有助于培养学生的逆向思维。根据公式特征可以巧妙解决运算问题，它是提高学生运算能力的重要过程，对学生的符号意识的形成具有重要作用;

第二，利用配方解决特殊结构式子，对其它公式（如平方差公式）解决特殊结构式子具有示范作用.对特殊结构式子的观察，是提高学生运算技能的必经之路，对学生发现数式特征，解决规律问题提供一定的研究思路;

第三，配方是一种实现降次的重要变形转化，是解决高次多项式的有关问题的重要转化方法，是初中数学中许多重要内容的基础（如一元二次方程的解法、一元二次函数求最值等），具有示范和引领作用.

1.1 基础训练，回顾算理

练习1 因式分解：

（l） a2-4a+4=____;

（2）-3x2+6Xy-3y2=____.

练习2 用配方法解一元二次方程：

（l）X2-8x+l=0;（2） 3x2-6x-4=0.

练习3利用配方法，将下列二次函数写成y=a（x-h）2+k的形式，并求出最值：

（l）y=X2-2x-4=一____，最____值是 ______;

（2）y最____值是________.

筆者通过一组练习题唤起学生对配方法涉及的相关知识进行回忆.通过3组基本题型对知识进行简单梳理，帮助学生回顾、理解配方法的算理，形成程序化解题步骤，掌握配方法的基本技能，为能力的发展打好基础.

通过3组基本题型的训练，学生经历运算技能形成的第一阶段：认知阶段，即学会怎么算.

1.2 题型归纳，挖掘本质

1.2.1降次

例1 已知（x+1）2+2（x+1）+1=o，求x的值.

问题 （1）解一元二次方程有几种方法？

（2）你选择什么哪一种解法？说明理由.

笔者采用问题串方式，引导学生回顾并分析一元二次方程求解问题的方法选择.观察式子结构发现方程左边可以配成完全平方式，优先选择配方法解方程（探究运算方向），从而确定运算方向.方法的选择，促进学生理解配方法而不仅仅是应用配方法，提高运算的筒捷性.多思而不是多算，从技能到技巧发展，提高学生的运算技巧.

变式 己知t4—2t2+1=o，求f的值.

问题（l）请说出自己的解题思路.

（2）为什么可以这么做，你是怎么想到这种方

法的？

笔者通过两个问题的引导，两种方法的对比，引导学生分析运算条件，紧扣运算目标，探究运算方向，提高运算的有效性，培养学生学会有向有序地观察、分析式子的结构特征，感知条件之间的逻辑关系，巧用配方降次，实现底数的运算与幂的运算之间的灵活转化，从运算的操作过渡到思维层面的思考，逐步发展学生的运算能力.

问题反思什么情况下，需要用配方法进行降次？

归纳总结①解具有t2±2at+ a2=m（m≥o）结构特征的方程;②解高次（次数高于二次）方程;③二次式运算较为复杂的情况（与底数的运算进行灵活转换）.

1.2.2应用平方的非负性

例3 求y=2x2-4x-7的最大值或最小值.

例3 考查最值问题，问题指向明确，笔者通过本题，让学生直接感知配方法在解决最值问题的直观应用，归纳总结配方后应用平方的非负性解决最值问题的一般步骤，从而逐步将运算方法内化.

例4若x，y为任意实数，比较6xy与X2+9y2的大小.

问题 （l）如何比较这两个二次式的大小？说说自己的思路.

例4 的设问没有直接指向配方法，但作差法是解决比较大小的常用方法，通过对问题的深入分析，学生不难想到解决方法.问题转化为判断二次三项式的正负问题，思考应用平方的非负性进行求解，故对式子进行配方处理.在引导学生阐述思路的过程中，促进学生深入理解配方法在实际情境中的应用，加深学生对配方本质的理解，进一步强化算理，逐步培养学生的运算推理能力.

例5 试判断关于x的方程X2+2ax+2a2-a+5=o的根的情况.

判断方程根的情况实质是判断判别式的正负问题，即判断二次式△=-4a2+4a-20的正负问题（判断二次三项式的正负问题）.笔者通过对本题的引导，引导学生对挖掘设问中隐含问题，自主想到配方法并主动使用，实现运算能力自动化的逐步过渡.

例6若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+C2+50= 6a+8b+lOc，判断三角形的形状.

问题（1）分享一下你的做法？

（2）你为什么要这样做？

笔者有意设计两个问题，引导学生在解题后反思解题思路.学生无法直接得到此多元二次方程中未知元的值，却能通过它们的关系间接求值.从观察结构到应用配方法对方程进行整合，最后完成求解的整个过程是学生运算能力的一个进阶过程.从一组配方到多组配方递进，前后类比，从而促进学生运算思维能力再一次飞跃.

问题反思什么情况下，可能需要应用平方的非负性？

归纳总结①解多元二次方程;②问题涉及二次式（二次函数）求最值、讨论正负.

不同梯度、不同类型、不同背景的练习从易到难，学生经历运算技能的第二阶段：联系阶段，即将操作技能进行合成，形成步骤，并将步骤程序化.

1.3 归纳总结，提升方法

问题（1）在什么问题情境中可能用配方法？

（2）配方法在解决问题中通常有什么作用？

（3）配方过程要注意哪些技巧？

归纳（1）①解二次方程或高次方程;②二次式（二次函数）讨论取值范围（求最值问题、讨论正负问题）;③含有二次式的代数式比较大小.

（2）配方法的主要作用：①实现降次，化未知为已知;②配方后，利用完全平方式的非负性，挖掘代数式中隐含条件;③改变代数式的结构，实现式子变形;④巧用数据，化繁为筒，简便运算，事半功倍.

（3）配方过程的技巧：①灵活处理二次项系数，简化配方过程;②恰当“配湊”，善于添项、拆项是灵活配方的基础.

从“什么时候用”、“有什么用”、“怎么有效用”三方面进行反思总结，学生经历运算技能的第三阶段：自动化阶段，即逐步实现技能的精致与协调，形成“技能组块”，操作起来熟练且步骤简缩.

2 教学反思

2.1 重视双基，巩固运算技能

单一技能的掌握是技能叠加的“地基”，对算理的正确理解与应用是发展能力的前提.教学中，对每个运算模块中的基本题型的梳理与训练是必不可少的，在进行基础知识、基本技能的训练过程中，教师要做到题目精选、精练，心中主轴清晰，一切以学生内化算理为重，帮助学生形成程序化的运算过程，做到心中有“章法”，解题有“程序”，从而达到巩固运算技能的功效.

2.2 关注联系，发展运算技能

在学生充分理解并能准确应用算理的基础上，错综复杂的题目经常使学生感到迷惑.教学中，关注联系能有效帮助学生挖掘知识的本质.教师在启发学生归纳的过程中，要关注多重联系、多向联系，包括算理的作用、试用范围，试题中可能出现的背景、设问等.为了让学生能有直观的感受，教师可以选择以题带动知识的归纳，帮助学生将零散的知识进行联系，从繁杂的题目中抽离出来，抓住知识的本质，做到有序、有向地思考问题.从“怎么用”到“什么时候用”过渡，从而发展学生的运算技能.

2.3 善于反思，精致运算技能

每一次的反思，都是一个知识升华的过程.引导学生不断反思、总结，是学生从技能向能力发展的一个关键环节.学生的反思往往是丰富而又充满创造力的，教师的补充也是必不可少的，集师生的共同智慧，学生对算理的理解能达到一个更为深刻的层次，从“会算”最终迈向“精算”，精致运算技能.

3 结束语

教学路漫漫，运算能力作为一项基本能力，与学生的整个数学学习生涯紧密结合.笔者力求通过这样一节复习课，让学生的运算能力可以得到发展，同时，也能以此为例，让学生能在对其他运算模块的学习与复习中，能有所借鉴.