五类模特四大名模 秒杀抽象函数难题

湖北省阳新县高级中学(435200) 陈烨 邹生书

在高考和模拟考中，有这样一类抽象函数难题频频亮相，成为高中数学的热点和难点问题.题目已知某抽象函数及其导函数满足若干个不等式或等式，要求比较相关式子的大小或求解有关的不等式.这类问题多以客观题的形式出现，命题意图主要考查运用导函数的运算法则构造新的抽象函数，然后运用函数单调性求解.构造新的抽象函数是解决这类问题的通性通法，解法严谨、厚重踏实，但对考生的运算求解、推理论证、构建模型等综合能力的要求较高.若能找到符合题设条件的一个具体函数， 我们称之类“模特儿函数”简称“特函数”，于是可用这个“模特儿函数”来代言抽象函数，这样化抽象为具体可以大大降低试题难度，使问题得到快速解决有时甚至是“秒杀”.下面我们以一定数量的典型试题为例，着重推介五类“模特”四大“名模”在快速解决这类抽象函数问题中的神奇作用，供复习备考的高三师生参考.

1.模特函数之常值函数

1.1 名模f(x)=1

例1已知函数f(x)是定义在ℝ 上的可导函数，且对任意x ∈ℝ，均有f(x)＞f′(x)，则下列结论正确的是( )

A.e2014f(-2014)＜f(0),f(2014)＞e2014f(0)

B.e2014f(-2014)＜f(0),f(2014)＜e2014f(0)

C.e2014f(-2014)＞f(0),f(2014)＞e2014f(0)

D.e2014f(-2014)＞f(0),f(2014)＜e2014f(0)

解选名模f(x)=1，显然满足条件f(x)＞f′(x)，易知A，B，C 错误，故选D.

例2已知定义在ℝ 上的可导函数y = f(x) 的导函数为f′(x)， 满足f′(x) ＜f(x)， 且y = f(x+1)为偶函数，f(2)=1，则不等式f(x)＜ex的解集为____.

解易知名模f(x) = 1 满足条件， f(x) ＜ex即为ex＞1，故解集为(0,+∞).

例3设f(x) 定义在ℝ 上的可导函数， 满足f(x) +xf′(x) ＞0，则不等式的解集为____.

解选名模f(x) = 1， 显然满足所有条件， 则不等式即为解得1 ≤x ＜2，故所求不等式的解集为[1,2).

例4已知f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数，且满足f(x)＞xf′(x)恒成立，则不等式的解集为____.

解易知名模f(x) = 1 满足条件，不等式f(x)＞0 即为x2-1 ＞0，又因为x ＞0，所以x ＞1，故所求不等式的解集为(1,+∞).

例5已知定义在上的函数f(x) 的导函数为f′(x)， 且对任意都有f′(x)sin x ＜f(x)cos x，则不等式sin x 的解集为____.

解易知名模f(x) = 1 满足条件， 则不等式f(x) ＜即为又因为所以故所求不等式的解集为

1.2 名模f(x)=-1

例6函数f(x)的导函数为f′(x)，若2f′(x)＞f(x)，对x ∈ℝ 均成立，则( )

A.3f(2 ln 2)＞2f(2 ln 3)

B.3f(2 ln 2)＜2f(2 ln 3)

C.3f(2 ln 2)=2f(2 ln 3)

D.3f(2 ln 2)与2f(2 ln 3)大小不确定

解选名模f(x) = -1， 显然对任意x ∈ℝ 满足条件2f′(x)＞f(x)，而3f(2 ln 2)=-3，2f(2 ln 3)=-2，故选B.

例7(四川省成都外国语学校2015 届高三月考) 定义在上的函数f(x)， f′(x) 是它的导函数， 且恒有f (x)＜f′(x)tan x 成立，则( )

解显然名模f(x) = -1 是满足题设条件的一个特殊函数.则即故A 错误.即f(1) ＞故B 错误.即故C 错误.综上可知选项A，B，C 均不正确，故选D.

2.模特函数之一次函数

2.1 名模f(x)=x

例8(2016年宜宾适应性考试) 已知y = f(x) 为ℝ上的可导函数， 当x0 时，则函数的零点个数为( )

A.1 B.2 C.0 D.0 或2

解选名模f(x) = x， 则f′(x) = 1， 当x /0 时，满足题设条件.而即函数无零点，故选C.

例9(皖南八校2015 届高三第一次联考)已知定义在ℝ上的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x ＜0 时，f(x)满足2f(x)+xf′(x)＜xf(x)，则f(x)在ℝ 上的零点个数为( )

A.1 B.3 C.5 D.1 或3

解选名模f(x) = x， 显然f(x) 是在ℝ 上的奇函数，2f(x)+xf′(x) = 3x，xf(x) = x2，当x ＜0 时，3x ＜x2成立，即2f(x)+xf′(x)＜xf(x)成立.而f(x)=x 在ℝ 上只有一个零点0，故选A.

2.2 名模f(x)=-x

例10 (2017年10月金太阳湖北高三重点中学联考理科第12 题)定义在上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)cos x+f(x)sin x ＜0，f(0) = 0，则下列判断中一定正确的是( )

解易知名模f(x) = -x 满足所有条件， 且故选A.

3.模特函数之二次函数

例11设函数f(x) 是定义在(-∞,0) 上的可导函数，其导函数为f′(x)， 且有2f(x) + xf′(x) ＞x2， 则不等式(x+2015)2f(x+2015)-4f(-2)＞0 的解集为____.

解特函数f(x) = x2满足所有条件， 不等式(x +2015)2f(x+2015)-4f(-2)＞0 即为(x+2015)4-16 ＞0，所以(x+2015)2＞4，又x ＜0，解得x ＜-2017，故不等式的解集为(-∞,-2017).

例12 设函数f(x) 在ℝ 上的导函数为f′(x)， 且2f(x)+xf′(x)＞x2，则下列不等式在ℝ 上恒成立的是( )

A.f(x)＞0 B.f(x)＜0 C.f(x)＞x D.f(x)＜x

解特函数满足条件，显然f(x)＞0，从而否定B.又由否定C，D.综上选A.

例13已知偶函数f(x)(x0)的导函数为f′(x)，且满足f(1) = 0，当x ＞0 时，xf′(x) ＜2f(x)，则使得f(x) ＞0成立的x 的取值范围是( )

A.(-∞,1)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)

解特函数f(x) = 1 - x2(x0) 满足题设条件，f(x)＞0 即为1-x2＞0，解得-1 ＜x ＜1，又x0，故选A.

4.模特函数之三次函数

例14已知函数f(x) 在ℝ 上的奇函数， 且f(1) = 0，对∀x ＞0，有xf′(x) ＞f(x)，则不等式x2f(x) ＞0 的解集为____.

解特函数f(x) = x(x2-1)满足题设条件，则不等式x2f(x)＞0 即为x(x2-1)＞0，解得-1 ＜x ＜0 或x ＞1，故所求不等式的解集为(-1,0)∪(1,+∞).

例15(2015年高考新课标II 第12 题)设函数f′(x)是奇函数f(x) (x ∈ℝ) 的导函数， f(-1) = 0， 当x ＞0 时，xf′(x)-f(x)＜0，则使得f(x)＞0 的x 的取值范围是( )

A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)

解特殊函数f(x) = x-x3满足所有条件.事实上，f(x)在ℝ 上是奇函数，f(-1)=0，f′(x)=1-3x2，当x ＞0时，xf′(x)-f(x)=-2x3＜0.于是，不等式f(x)＞0 即为x-x3＞0，解得x ＜-1 或0 ＜x ＜1，故选A.

5.模特函数之f(x)=ex

例16 设函数f(x)的定义域为ℝ，且对任意的x ∈ℝ，f′(x)+f(x)＞0，则对任意正数a，必有( )

解显然特函数f(x) = ex满足条件，易知选项A，B，C错误，故选D.

评注选模因题而异， 除四大名模外， 有时选模需要寻寻觅觅，根据题设条件模特函数并不十分清楚，往往只有一个大概的轮廓，需要慢慢的雕塑打磨和培训，构建的常用方法是待定系数法， 有兴趣的读者你可查阅笔者的研究文章[1][2][3].打造模特的过程有时很艰辛，具有挑战性和创造性，但能使人获得成功感和精神上的满足.

上面我们介绍了五类模特函数在快速解决一类抽象函数难题的神奇作用，其中“四大名模”f(x) = 1，f(x) = -1，f(x) = x，f(x) = -x 清纯可爱，虽为名模但不漫天要价，出场费超低谁都请得起，应谨记在心，当你在遇到这类抽象函数的考题时请在第一时间邀请四大名模来帮忙，或许有救啊.

名模亮相，惊艳全场，秒杀难题，五分进囊.