非自治Plate方程指数吸引子的存在性

苏小虎，姜金平，王力杰

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

本文主要讨论下面的非自治Plate方程

(1)

其中Ω⊂Rn是光滑边界上的有界区域；u=u(x,t)是Ω×(τ,+∞)上的未知函数；α>0为粘性阻尼；f是Lipschitz连续函数，并且满足下列条件

f(0)=0，f′(s)≥-λ1，

(2)

C1Sp-C0≤f(s)s≤C2Sp+C3，p≥2,

∀s∈R。

(3)

(4)

其中M>0，Ci>0，i=1，2，…。

关于Plate方程的研究已经有一些结果，文献[1]研究了带有非线性阻尼Plate方程的全局吸引子；文献[2]研究了带有非线性阻尼Plate方程的一致吸引子；文献[3，4]作者分别研究了具有局域阻尼和无界域临界指数的Plate方程的全局吸引子和指数吸引子；文献[5]研究了具有临界指数的Plate方程的渐近性和正则性；在文献[6]作者研究了当满足周期和拟周期及其他条件，f(u)满足临界增长时指数吸引子的存在性；文献[7]研究了g∈L∞(R,L2(Ω)时指数吸引子的存在性；文献[8]研究了当g(t)满足Hödler连续，f(u)满足临界增长时指数吸引子的存在性。

本文在阅读文献[6-9]过程中受到启发，在光滑边界上的有界区域Ω⊂Rn上，非线性项f(u)满足任意增长时，外力项g(x,t)满足平移有界条件下，证明非自治Plate方程指数吸引子的存在性。

1 预备知识

定义1[8](非自治指数吸引子)紧集族{M(t),t∈R}是Banach空间E上的过程族{U(t,τ),τ∈R}的(非自治)指数吸引子。如果所有集合M(t)的分形维数是有限的，即dimF(M(t),E)≤C<∞,∀t∈R；

(i)对t≥τ,τ∈R，M(t)是正不变的：U(t,τ)M⊂M；

(ii)存在常数α>0，递增函数Q(·)，使得对∀t∈R，S≥0以及E中的任意有限子集B，有

dimE(U(t+s),t)B,

M(t+s))≤Q(BE)e-αs。

定义2[8]设E是Banach空间，E1是空间E上的紧嵌入，又B是E1中的有界子集，对于常数0≤ε≤1,δ,K>0，定义如下非线性算子S:E→E的一个类Sδ,ε,K(B)：

(i)S映射B中的一个δ领域Qδ(B)到B，S:

Qδ(B)→B，其中δ领域赋予E1中的拓扑结构。

(ii)我们把S分解为下面的形式

S=S0+S1，

S0:Qδ(B)→E,S1:Qδ(B)→E1，

其中S0,S1满足下列情形

S0(z1)-S1(z2)E≤εz1-z2E，

∀z1,z2∈Rδ(B)，和

S1(z1)-S1(z2)E1≤Kz1-z2E1，

∀z1,z2∈Qδ(B)。

Ug(t,τ)uτ2≤M0，

∀t-τ≥TB,uτ∈B,g∈∑。

(5)

Ug(t,τ)uτ2≤M，∀t≥τ,uτ∈B。

由定义3结合问题(1)，我们把Ug(t,τ)uτ=

u(t)可分解为

Ug(t,τ)uτ=D(t,τ)uτ+Kg(t,τ)uτ。

(6)

这里的D(t,τ)uτ=v(t)，Kg(t,τ)uτ=w(t)分别是下列方程的解。

(7)

以及

(8)

引理1[7]对∀τ∈R，方程(1)的解满足：存在一个常数k0，使得对∀t≥τ，

D(t,τ)uτ2≤Q1(uτ)e-k0(t-τ)

(9)

其中Q(·)为区间[0,∞)上的增函数，并且k0依赖于τ的。

定理1[8]设E和E1都是Banach空间，并使E1紧嵌入到E，B是E1中的一个有界集U(t,τ)(τ∈R,t≥τ)是在空间E中的过程。设U(t,τ)满足

(1)存在常数ε∈[0,1]以及K>0,T>0，使得U(T+τ,τ)∈Sδ,ε,K(B),∀τ∈R；

(2)U(T，τ)是Hölder连续：存在常数k1及CT,B，有zi∈Qδ(B)(i=1，2，S∈[0,T])，

使得

U(τ+s+t,τ)z1-U(τ+t,τ)z1E≤

(10)

以及

U(τ+s+t,τ+s)z2-U(τ+t,τ)z2E≤

CT,Bectsk1,∀t≥T

(11)

则存在指数吸引子τ→εU(τ)⊂Qδ(B),τ∈R。并且这里满足以下性质

(i)吸引子εU(τ)⊂B,(τ∈R)，并且其分形维数有限

dimF(εU(τ),E)≤C1；

(12)

其中C1是不依赖于τ的常数。

(ii)关于U的集族εU是正不变的，

U(t,τ)εU(τ)⊂εU(t)，∀t,τ∈R,t≥τ；

(13)

(iii)集族有如下指数吸引子的形式

distE(U(t,τ)B,εU(t))≤

C2e-α(t-τ),∀t≥τ；

(14)

其中C2和α是不依赖于t和τ的常数。

(iv)函数t-εU(t)是一致Hölder连续的

C3sk,∀t∈R。

(15)

其中C3和k是不依赖于t和s的常数。

2 主要结果及证明

引理2[10]设u(t)是方程(1)的一个解，则对于∀ε>0及τ∈R，存在正常数Cε,Kε使得

u(t)=v1(t)+w1(t)，∀t≥τ，

(16)

其中u1(t)，w1(t)，满足下面的估计

-△w1(t)2≤Kε，∀t≥τ，

(17)

其中的Cε,Kε是不依赖于τ的常数。

引理3 设引理1成立，则存在一个正常数M，使得对于V中的任意有界子集B⊂D(A)，有T=

T(B)>0成立。

Ug(t,τ),uτ2≤M,∀t-τ≥T,uτ∈B。(18)

证明在定义3中我们可以知道，存在常数TB(TB是依赖于B的)，使得

Ug(t,τ),uτ2≤M0，∀t-τ≥TB，∀uτ∈B

(19)

我们用△ut与(1)式做内积，得到

(f(u),△ut)=(g(x,t),△ut)，

(20)

又因为

则由上式得

(21)

其中

(22)

再由(2)，(3)我们可得

Cλ1▽u2·△u。

(23)

将(22)和(23)代入(20)，我们整理得

引理4 由定理1确定的时间T>0，过程族Ug(t,τ)在以下条件是满足Hödler连续的：则存在常数CT,B及c′，使得对∀zi∈Qδ(B)(i=1，2)，s∈[0，T]是Hödler连续的。

U(τ+s+t,τ)z1-U(τ+t,τ)z1E≤

(24)

以及

U(τ+s+t,τ+s)z2-U(τ+t,τ)z2E≤

CT,BectSk1,∀t≥T

(25)

证明由定义3以及(1)式知u(t)=Ug(t,τ)uτ(t≥τ)满足：对于∀uτ∈Q1(B)，

(26)

这里的MB是和Q1(B)有关的常数。对∀s∈[0，T]和z2∈Q1(B)有

Ug(τ+s+t,τ)z1-Ug(τ+t,τ)z1=

(27)

因此，我们有

U(τ+s+t,τ+s)z2-U(τ+t,τ)z2E≤

Ug(τ+s+t,τ+s)(Ug(τ+t,τ+s)z2)-

Ug(τ+t,τ+s)z2+Ug(τ+t,τ+s)z2-

Ug(τ+t,τ+s)(Ug(τ+s,τ)z2)。

(28)

结合(24)和(26)得证。

(29)

引理6 由定理1，存在T=T(B)，使得Ug(t,τ)(t≥τ)满足以下几条性质

(i)对∀τ∈R,t≥0有

ug(t+T+τ,τ)Q1(B)⊂B；

(30)

(ii)对于∀z1,z2∈Q1(B)以及τ∈R，Ug(t+τ,τ)可分解

∀z1,z2∈Q1(B)，

(31)

∀z1,z2∈Q1(B)。

(32)

证明由引理3可知，对于初值uτ∈Q1(B)，用S(t,τ)uτ表示下面方程的解

utt+αut+△2u+f(u)=0，

在这里我们设

(33)

(34)

(35)

由引理2，对于D(A)中的有界集Q1(B)，存在常数T2(依赖于B)，使得∀τ∈R有

Ug(t,τ)Q1(B)⊂B,∀t-τ≥T2。

证明：由引理4和引理6，对于集合B和满足条件(4)的外力项g(x,t)，则(1)中存在一个自治的指数吸引子{εg(t)}t∈R。