基于变式教学的数学教学设计①——以“基本不等式”为例

钟志华 李 渺

(1.南通大学理学院 226019；2.湖北工程学院 432000)

众所周知，变式教学作为成熟的教学理论已成为我国数学教学的瑰宝.关于变式教学理论在数学教学设计中的运用也取得了非常丰硕的研究成果.本文以“基本不等式”为例，着重从情境创设、猜想发现、猜想证明、课堂小结及课后作业等方面探索如何充分发挥变式教学的指导作用，希望能为中学教师设计变式教学的数学课堂提供一个不一样的视角.

1 教材地位与作用分析

不等式是数学的重要分支之一，许多数学公式、定理往往都是用不等式来表述的.因此，研究不等式的证明不仅对于不等式的学习具有十分重要的作用，而且对于其它数学知识的学习也可以起到很好的促进作用，同时，不等式的证明在其它学科及生产实际中也具有非常广泛的应用.

而基本不等式又是不等式证明的重要基础，虽然学生在此之前也学习过作差法、导数法等证明方法，但这些方法都有它们各自的局限性.基本不等式的学习不仅为诸如柯西不等式、幂平均不等式等重要不等式及更为复杂的不等式的证明奠定重要的知识基础，而且也提供了重要的方法基础，基本不等式的出现开辟了用不等式证明不等式的全新研究思路，为不等式的证明打开了崭新的研究方向.

本节课选自人教A版《普通高中课程标准(实验)教科书·数学》必修5第三章第4节第一课时，它是学生学习的第一个重要不等式.在此之前，学生已经系统学习了不等式的性质、一元一次不等式、一元二次不等式、二元一次不等式组及简单的线性规划问题等知识.基本不等式是对前面所学知识的进一步深化与发展，同时也是今后学习其它更为复杂的不等式的证明、求函数的最值等知识的基础.在基本不等式证明过程中涉及很多重要数学思想方法，如数形结合法、等价转换方法、分析法等，特别是分析法，它是一种十分重要的证明方法，它为数学证明提供了一种更加高效、简洁的方法.这些方法不仅可以简化数学证明，而且可以培养学生的推理能力和创新能力、激发学生的探究兴趣、提升学生的数学素养.综上所述，学好本节课对今后的学习具有十分重要的作用.

2 学情分析

从已有知识和经验来看，学生在此之前已经系统学习了不等式的概念、性质和一些简单不等式的证明，对不等式的证明方法已经有了一定的了解，同时，还学习了直角三角形的性质与圆的性质等知识，这些知识为本节课的学习奠定了良好的知识基础.另外，学生在此之前还学习了配方法、作差法及数形结合方法等数学思想方法，这些方法为基本不等式的探究与证明提供了方法上的保障.

从已有能力来看，学生经过多年数学学习，已经具备了一定的观察能力、推理能力和思维转换能力，只要教师启发得当，学生应该是能通过观察、分析、思考发现并证明基本不等式的.当然，在基本不等式的探索发现过程中也会存在一定的困难，比如学生比较容易发现赵爽弦图中的相等关系，而不容易发现其中的不等关系.另外，分析法的证明是新学内容，对学生来说也是难点，在教学时要求不宜太高，只需要让学生初步了解即可.

3 教学目标分析

(1)理解基本不等式的内容，能用文字语言、符号语言和图形语言来表示基本不等式；初步了解分析法的概念、过程及其与综合法之间的区别与联系.

(2)经历基本不等式的探索发现与证明过程，从中体会数形结合、等价转化等数学思想方法；

(3)在对“会动的赵爽弦图”的观察、分析、思考过程中，体验数学探究的乐趣，感受数学文化的历史悠久与博大精深，激发学好数学的兴趣和积极性.

设计意图基本不等式这一节课的主要内容是基本不等式的发现、证明与应用，但由于时间所限，本节课只能讲基本不等式的发现与证明，不能讲基本不等式的应用.因此，把理解基本不等式的内容作为知识与技能方面的主要目标，分析法虽然也是本节课的教学内容，但由于学生刚刚接触分析法，理解还存在一定困难，故将分析法的教学目标定为初步了解这一层次.

4 教学重难点分析

(1)教学重点：重要不等式的发现与证明.

(2)教学难点：重要不等式的发现与分析法的理解.

设计意图义务教育课程标准指出，数学教学最重要的是让学生在观察、操作、猜想、推理、验证等过程中，亲身体验如何“做数学”、如何实现数学的“再创造”，并从中感受数学的力量.[1]而基本不等式这节课既涉及两个不等式的发现又涉及到它们的证明，这些内容难度适中、形式丰富，不仅可以充分激发学生的探究热情，而且可以培养学生的探究能力，让学生获得探究的体验.但这两个不等式在本节课中的地位并非等量齐观，因为只要掌握了重要不等式，那么基本不等式就迎刃而解了.故将重要不等式的发现与证明作为本节课的教学重点.

赵爽弦图虽然学生在初中就已经熟悉，但受思维定势的影响，学生往往比较容易发现赵爽弦图中的相等关系，而不容易发现其中的不等关系.因此，如何引导学生发现大正方形面积大于四个直角三角形面积之和并进而得出基本不等式是本节课的一大难点；分析法之所以是本节课的难点，是因为分析法以前学生从来没有接触过，它需要学生对数学思维的本质有较高的认识，同时在运用过程中还要特别注意“以上各步皆可逆”这一使用条件.

5 教法学法分析

(1)本节课主要采用问题解决教学法与直观教学法来进行教学.

设计意图问题解决教学是教师通过创设问题情境，让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的全过程.通过问题解决可以让学生更加深刻地了解知识产生和获得的全过程，并在此过程中掌握科学研究的一般方法，获得探索发现的成功体验.本节课中无论是两个不等式的发现与证明，还是“当且仅当”、“分析法”等新概念、新方法的引入都应该让学生在充分探索的基础上自然而然地产生出来，而不应该由教师强加给学生.要实现以上目标，教师需要在精心设计的基础上由浅入深地构建“问题串”来启发引导学生去探索、去发现.选择直观教学法是考虑到本节课中无论是重要不等式的发现还是基本不等式的理解都需要借助于一定的图形直观，同时直观教学法还可以体现和培养数形结合思想.

(2)本节课的学法主要采用自主探究与合作学习相结合的方式.

设计意图重要不等式的发现与证明、基本不等式的发现与几何解释的构建都需要学生在教师的引导下通过观察、操作、思考、猜想、验证等途径才能完成，这些过程采取自主探究的方式比较合适.而重要不等式的多种证法的探究、基本不等式的多种几何解释的提出很难依靠一两个学生独立完成，这就需要合作学习，需要学生在充分思考的基础上通过相互交流、彼此合作才能完成.而相互交流与合作又可以促进学生取长补短、共同提高.

6 教学过程设计

6.1 创设变式情境，培养提问能力

在学习勾股定理的时候，我们曾经利用赵爽弦图给出了勾股定理的证明.今天老师把这个赵爽弦图做成了动画，变成了“会动的赵爽弦图”(向学生播放动画)，看到这个动画你们能提出什么问题？

设计意图阿基米德说过，“给我一个支点，我可以撬起整个地球”.如果把这句话移植到数学课堂教学中，我们可以说数学课堂的支点就是情境创设.情境创设不能仅仅满足于激发学生学习兴趣，而应该把创设情境作为培养学生发现问题、提出问题能力的一种重要手段.

赵爽弦图学生在初中时就已经接触到，这里采用图形变式将传统的赵爽弦图改变为“会动的赵爽弦图”，一方面可以制造“悬念”，激发学生探究的兴趣；另一方面，则可以创设一种问题情境，引发学生提出“这个图有什么特点或性质？”“赵爽弦图在变化过程中有没有什么性质保持不变？”等一系列问题.同时，它还可以让学生在图形的运动变化过程中更好地把握事物的本质、感受“变化中的不变性”这一重要数学思想.

当然，要学生一下子就能发现动画中的不等关系可能还存在一定困难，因为，学生在过去接触得比较多的主要是相等关系.这时，教师不必急于把学生的思维马上拽回来，不妨先让学生自由探索，他们可能会发现图中的相等线段、相等角、全等三角形等等，待学生探索到一定程度以后，教师可以适时给予总结并顺势提出进一步探索的问题：“同学们刚才通过探索发现了图中的许多相等关系，那我们还能提出什么问题呢？”将学生的思维自然而然地引向赵爽弦图中的不等关系的探索.

6.2 设计变式问题，启发数学发现

如果学生在教师的启发引导下能提出“图中存在不存在不等关系？”，那么教师可以追问“我们应该从什么方面去考虑呢？”如果学生在教师的启发下还不能提出这一问题，这时教师可以直接提问学生“在会动的赵爽弦图中，我们是否可以找到某种确定的不等关系呢？”将学生的思维引向对图中不等关系的探索.

在探究不等关系的过程中，学生可能会将注意力集中到边与边之间的不等关系，这时教师要适时引导学生把思维转向面积之间关系的研究，比如教师可以这样提问学生，“这些关系我们过去都研究过，同学们再看看有没有新的发现？”或“我们刚才一直都在研究线段之间的关系，同学们能不能换个角度再来进行研究？”经过这样的启发，学生一般都能想到研究图中面积之间的不等关系.如果还是想不到，此时可以提问学生在证明勾股定理时考虑的是什么？或直接提示“面积”二字.

在探究面积之间的不等关系时，学生可能会说出“大正方形面积大于小正方形面积”、“大正方形面积大于每一个直角三角形面积”、“大正方形面积大于四个直角三角形面积之和”等多种不同答案.这时教师不应急于对学生的结果进行评判，而应该先对学生的探索发现加以肯定和鼓励，然后再提出“你们觉得这些结果中哪个结论最有价值？”这样的问题，顺势地把评价的权利交还给学生.

经过这样的启发以后，学生一般都能发现“大正方形的面积永远大于四个直角三角形的面积之和”这一结论最有价值.此时，教师可以进一步追问学生“一定大于吗？”让学生意识到还有相等情况存在，如果学生发现不了，教师可以通过动画将“会动的赵爽弦图”中的小正方形缩成一点来启发学生.

在学生得出重要不等式的文字表达形式以后，教师还可以进一步追问学生“这个结论能不能用数学符号来表示？”“如果可以，那又该怎么表示？”引导学生得出重要不等式的符号表征——a2+b2≥2ab.这样设计的意图是通过语言变式来促进学生从多角度来理解重要不等式.

在引入“当且仅当”这一术语时，教师可以通过“等号什么时候成立？”“在其它情况下等号成不成立？”这两个问题让学生弄清楚“当a=b时取等号”与“仅当a=b时取等号”分别表示“由a=b⟹a2+b2=2ab”与“由a2+b2=2ab⟹a=b”这两个完全互逆的思维过程，而“当且仅当”表示的则是这两种思维过程的结合体，所以要用“且”这个词将“当”与“仅当”连在一起.

设计意图著名数学家哈尔莫斯有句名言“问题是数学的心脏”.爱因斯坦也曾经指出，提出一个问题往往比解决一个问题更重要.可见，无论是在教学还是在科学研究中都离不开问题.事实上，在数学探究教学中，无论是情境的创设、猜想的发现还是猜想的证明都需要问题来引导，若没有各种可供解决的问题存在,或没有解决问题的行为的产生，探究也就无从谈起.为了更好地启发学生进行探究，本设计在猜想发现这一环节由浅入深地设计了环环相扣的10个问题，目的是希望通过教师循循善诱的引导让学生主动探究、主动发现猜想.

6.3 利用解法变式，拓展思维空间

发现猜想以后自然就要证明.这时教师可以顺势提出“有谁能够证明这个不等式吗？”根据以往的经验，学生一般会采用作差法来进行证明，如果学生还有困难，教师可以提醒学生，“过去我们证明不等式一般采用什么方法？”让学生通过回忆想到利用作差法来进行证明.接着，教师可以进一步提问学生，“除了作差法，还有其他想法吗？”

设计意图因为在学生记忆中证明不等式常用的方法就是作差法，让学生说出想法或思路是为后面引出分析法证明做铺垫.此时，如果学生有想法，则可以让学生将自己的思考过程在黑板上写下来；如果学生没有想法，教师可以带领学生对要证明的不等式进行分析：我们解题时常用的思路一般有两种，一是从条件出发去推导结论，二是从结论出发去寻找结论满足的条件.这两种方法分别称为“由因溯果法”和“执果索因法”.而且一般来说，如果从条件推结论比较容易，就采用“由因溯果法”，反之，则采用“执果索因法”.就本题而言，由于题目当中没有任何条件，因此，在进行证明时不得不从结论出发来进行思考.从而引导学生进入下面的探究过程：

同学们，我们来看结论，要证a2+b2≥2ab这个不等式，根据不等式的基本性质就是要证明a2+b2-2ab≥0，将式子配方，就是要证明(a-b)2≥0.而式子的左边是完全平方式，当然成立.这样，我们在进行证明时，就可以先从(a-b)2≥0出发，然后将左边展开，最后再通过移项即可得到a2+b2≥2ab.

在证明完成以后，教师应及时对这两种思考问题的过程进行比较、总结并在此基础上提出“分析法”、“综合法”这两个概念.在此过程中，教师可以向学生介绍分析法产生的由来：许多数学家们一开始也像大家一样，先从结论出发来分析解题的思路，然后再把分析过程颠倒过来书写证明过程.后来，有的数学家就开始思考，每次这样来回折腾太麻烦，有没有更简单的书写方法呢？于是，聪明的数学家就想到一个巧妙的“偷懒”办法，那就是先检查一下原来的分析过程是不是都能倒回去，如果可以就直接在证明分析结束时加上“以上各步皆可逆”，就可作为一种证明方法了.

设计意图由学生说出的思路来引出分析法，体现了学生在课堂中的主体性，这不仅可以激发学生学习的兴趣，而且可以加深对分析法的理解.揭示分析法的产生原因，一方面可以让学生充分认识分析法的本质，让学生真正认识到为什么在用分析法进行证明时要加上“以上各步皆可逆”这句话，明确分析法在什么时候能用、什么时候不能用.避免在实际运用过程中生搬硬套，不仔细检查是否真的“以上各步皆可逆”，而仅仅把它作为一句套话.另一方面，则可以让学生更好地了解数学家的思维过程，破除学生对数学家和数学研究的神秘感，激发学生研究数学的积极性.这样，通过解法变式，不仅可以拓展学生的思维空间，而且可以克服学生的思维定势.

6.4 借助语言变式，引导发现新知

著名数学家波利亚在介绍解题方法时曾经有一句名言：“不断变换你的问题”.美国著名教育学家布鲁纳也曾经将转化看作是学习的三个重要过程之一.可见，变换在学习中的重要性.在我国数学教育界，体现变换思想的变式教学一直被认为是我国数学教育的优良传统.因此，在学生学习了重要不等式以后，教师要善于引导学生对所学知识进行变形并主动与已有知识建立联系.这不仅有助于深化学生对新知识的理解，同时也有助于促进知识的迁移与应用.此时，教师可以适时向学生提出如下问题：“在学习新知识的时候，我们往往喜欢将未知的形态转化为自己熟悉的形态，很明显，这个重要不等式x2+y2≥2xy的左边和右边我们并不熟悉，那我们能不能做一些工作，使得不等式两边变成我们熟悉的样子呢？”

设计意图以化归思想引出基本不等式，不仅符合学生的认知特点，而且自然而然地达到承前启后的效果.同时，对以后进一步学习不等式的证明及其它数学知识也有十分重要的指导作用.

得到基本不等式以后，教师还可以继续提问学生“这个不等式还可以用文字语言和图形语言来表示吗？”“如果可以，那应该怎么表示？”让学生进一步用文字语言和图形语言来表示基本不等式.

基本不等式的文字语言表示对学生来说并不存在多大困难.几何解释虽然有很多，但学生并不容易想到.此时，教师可以通过“我们以前在什么图形中见到过两条线段的算术平均数和几何平均数(比例中项)？”来启发学生进行联想.如果学生还有困难，教师可以降低要求，向学生呈现图形并引导学生思考“你能看出图中的基本不等式吗？”来让学生找到基本不等式的几何解释.

设计意图提出用文字语言和图形语言来表示基本不等式的目的是让学生从不同的侧面理解不等式.这不仅有助于学生深化对基本不等式的理解，而且为后面学习基本不等式的应用打下坚实的基础.同时，也有助于渗透数形结合思想、多元表征思想及变式教学思想.至于基本不等式的证明虽然也是本节课的教学目标，但由于与重要不等式的证明非常类似，这里再讲就会显得多余.基本不等式的证明可以放在之后的练习中，让学生自己尝试证明，这样效果会更好.

6.5 利用变式思想，优化认知结构

提问：这节课我们学了哪些重要知识和方法？有什么收获与体会？

设计意图由于本节课的新学内容比较多，教师可以通过适当引导让学生从两个不等式的三种语言表征、三种证明方法及其背后蕴含的数学思想方法、两个不等式之间的区别与联系等方面对本节课所学的内容进行总结.

这样设计一方面可以让学生通过回顾系统梳理本节课的知识要点，促进学生认知结构的优化；另一方面，可以培养学生善于反思、善于总结的习惯.让学生说出学习后的收获与体会，学生既可以从探究发现过程中所获得的成就感和喜悦感等方面来阐述，也可以从分析法的起源了解数学家的所思所想，学会像数学家那样去思考，激发数学研究的积极性.这不仅可以提升学生的发散思维能力，而且可以培养学生良好的情感态度价值观并在此基础上进一步提高学生的数学素养.

6.6 呈现变式图形，引发课后探究

课后作业：如下图，PA=a，PB=b.你能找到基本不等式的几何解释吗？还能找到哪些线段之间的不等关系？能用不等式表示出来吗？

设计意图呈现这一图形，一方面可以让学生了解基本不等式的多种几何解释，另一方面则可以让学生运用所学知识探索幂平均数、调和平均数与算术平均数、几何平均数之间的关系，进一步开拓思路、扩大视野.