在整体建构中生长学生的数学智慧

杨宏权 周正琴

“智慧数学”创始人陈士文先生指出：“世界是一个有联系的整体，我们的教材设计要从整体出发，在知识的来龙去脉中培养学生整体的眼光、整体的思维，感悟智慧的生长。切忌‘斩头去尾烧中段，把对世界的整体认识切割成一道道琐碎的提问，而缺少宏观的思考。”[1]由此可见，数学教学必须注重数学的整体性，从整体上建构学习内容与教学结构，让学生了解数学知识的来龙去脉，体会数学思想方法的启蒙，在感受数学思想方法永恒不变的基础上生长学生的智慧。

一、学习内容整体建构，在清晰的知识脉络中生长学生的智慧

现行数学教材依据学生的年龄特点及学习内容的难易程度，将原来整体化的数学知识、方法、思想切割成一个个“知识点”，按照由浅入深、由易到难、循序渐进的方式编排教学内容。这样的编排能便于教师在单位时间内完成一定量的学习任务，同时也让学生在单位时间内接受可控的学习内容。然而，概念一个个地教，规律一个个地学，容易迷失在局部，造成“只见树木不见森林”的现象。长此以往，容易陷入坐井观天、思路狭窄、思维呆板，局限于一招一式的雕虫小技而不能自拔[2]。心理学研究也表明，防止遗忘的最好方法就是增强知识与知识之间的联系。因此，实际教学时，我们应用联系、发展的视角研究学习内容，注重知识之间的整体性与连续性，唯有这样才能让学生真正把握数学知识的本质，理解知识的来龙去脉，将所学的数学知识条理化、系统化，形成一个有机联系的完整知识体系，从而在清晰的知识脉络中形成整体思维，生长数学智慧。

案例：“三位數乘两位数”。

出示：从4、5、15、21、144中任选两个数写出乘法算式。

学生独立完成后，教师根据学生的回答，有序地将所有乘法算式贴出来。

4×54×154×214×144

5×15   5×215×144

15×21   15×144

21×144

接着让学生思考：如何将这些乘法算式按因数的位数分类？同时想想这些乘法算式，哪些是你会算的，分别怎么算。

学生独立思考，然后指名学生到黑板前拖动算式卡片，形成下面分类情况：

第一类：4×5

第二类：4×154×215×155×21

第三类：4×144   5×144

第四类：15×21

第五类：15×144   21×144

接着通过追问让学生回忆学习过的乘法计算，并提出今天我们要研究三位数乘两位数，你们可以先尝试吗？

学生自主尝试学习。

……

结束时，老师问：“想一想，以后我们可能还会再学习怎样的乘法？”

生：三位数乘三位数。

生：三位数乘四位数。

师：像这样的乘法， 还需要像今天这样学习吗？

生：不需要了。

本节课内容是前面整数乘法的顺承，更是整数乘法计算法则的终极。课初通过“写算式”“分算式”“说法则”这样的学习活动，其目的在于温习旧知识，使旧知识串连成串，为新知识的学习做好充分的准备。与此同时，将新知识有机、自然地融入其中，形成一个认知整体。在这样的整体构建下，学习内容不再是独立无援的“知识点”，而是“整数乘法串”的一部分，因为它的存在，让学生认识到：整数乘法再向后面就无需再学，因为此时的整数乘法已整体建构于学生知识体系中。再如除法的商不变规律、分数的基本性质及比的基本性质，这三个内容在不同的学段出现，但其数学本质是相通的，相互间的联系也非常紧密。为此，在学习分数的基本性质时，可通过除法的商不变规律引入，从而搭建彼此之间的联系，让学习自然生长;学习比的基本性质时，可借助它与前两者的联系探寻其自身的规律，揭示它们之间的异同，并通过互相转化，融会贯通，形成一体。这样，用联系、发展的视角组织教学，在学习内容的整体性和连续性中，把握数学知识的本质，理解知识的来龙去脉，从而让学生慢慢形成整体思维，生长人生智慧。

二、教学结构整体建构，在思辨的板块设计中生长学生的智慧

随着先进理念的不断萌生、新课程改革的不断深入，课堂教学结构也悄然发生着变化。但纵观时下较为成熟的教学结构，其显著特点在于结构清晰、操作方便，以生为本，倡导自主学习。对这些教学结构进行深入研究，我们又不难发现其聚焦点大部分还停留在知识层面，即这些教学结构是为获得知识而服务的。然而，数学教育的基本目标并不是仅仅让学生获得那些“碎片式”的知识，而是让学生在经历知识的获得过程中，学会思辨，学会用数学的眼光看待整个世界，从而促进智慧生长。“智慧数学”无基本课堂模式可循，但却遵循着“板块”结构的设计理念。板块结构是“智慧数学”课堂的首要特质，板块设计是数学简洁美的自然体现，是数学整体视野的应然选择，是逻辑思维发展的必然要求[3]。

案例：“认识100以内的数”。

板块一：捆一捆——从一个到一捆。

出示 2个一组的樱桃（20个）、5根一把的香蕉（20根）及10枚一板的鸡蛋让学生数一数，再次体会哪一种物品最好数，为什么？

出示两幅都包含13根铅笔的图片：一幅是散放的，一幅是将10根捆在一起的。

先让学生感觉哪副图中的铅笔更好数？为什么？

得出：10根一捆，捆一捆，从“一”到“十”。

板块二：数一数——从“十”到“百”。

让学生在前面10根一捆的基础上，捆3捆。要一根根追加到28根，追问，如果再加一根是多少？再加一根呢？让学生体会几十九添1是几十。

接着引出问题：99再添上一根，为什么不是几十，而是一百？

引导学生体会：一共捆了10个十，满10个十时，就可以捆一大捆，变成一百了。

让学生用1大捆，1小捆，还有1根小棒，玩摆数游戏，看谁摆得多。

板块三：画与写，从实物到符号。

师：可以画，也可以写，请在纸上表示出24根小棒。

生1：一根一根画，数一数：1，2， 3，4，……，24。

生2：画了2捆和4根。

生3回答时，教师说学生猜：“他画了一个计数器，一共画了6颗珠子，可以表示24吗？

最后让学生谈感受。

整节课以“三个板块”的形式呈现教学内容，板块之间的逻辑关系遵循的是“具体—表象—抽象”。板块一，一个到一捆，让学生在具体中感悟“十”，并通过捆法多样性（实为不同进制法）感受10个一捆的优越性，内化十进制知识。其实这是一个具体认识的过程，同时也是学生智慧萌生的过程。板块二，通过不同数数的方法，自然过渡到满10个十，就要捆一大捆，建立“百”的表象。在随后的“1大捆、1小捆、1根小棒”摆数游戏活动中，进一步感悟“捆”与“一”“十”“百”的关系，进而感悟十进制计数法以及不同的计数单位，从而点化数学智慧。板块三，从实物到符号，其实是符号化抽象的过程。在此过程中，借助小棒实现从有形到无形（符号）的提升，当小棒不见时，凸显出来的便是十进制、位值原则。在数学学习过程中，我们经常为学生搭建从直观物体到抽象概念之间的桥梁，但我们不能停留在桥梁上，因为学生的数学学习都要经历具体—表象—抽象的过程，并在抽象提升中把握事物最主要、最本质的数学属性，唯有这样才能增长学生的智慧。

三、思想方法整体建构，在理性的探究过程中生长学生的智慧

受传统教学思想的影响，教师往往把知识传授看作教育的唯一，追求的是解题技巧，而缺乏对数学知识的整体联系，对知识发生过程中数学思想方法的渗透重视不够。“智慧数学”中的整体性，除了学习内容与教学结构的整体建构外，更为重要的是前后一致的由内容反映出的数学思想方法的整体建构。为此，教学时我们应自觉地从知识的结构体系、逻辑关系出发，构建在数学思想方法上具有前后一致性的教学流程，并让学生在理性探究活动中培养其整体的眼光、整体的思维，从而生长数学智慧。

案例：“加法的交换律和结合律”。

1.在游戏中研究事例。

口算比赛：男女生轮流答题，每个人口答 5道题，用时较短的队将获胜。

2.在不公中提出猜想。

抢答到第3行算式时，学生发现比赛的不同，从而得出：两个加数的位置不同，但他们的计算结果是一样的。教师追问：研究这些事例后，你能提出一个猜想吗？（两个数相加，交换加数的位置，和不变。）

3.在举例中验证猜想。

举例验证刚才的猜想是否正确。

集体汇报时，注意举例算式的全面性。并追问：能不能找出一道加法算式不符合这种现象的？像这样的等式写得完吗？有什么办法可以把这种规律表示出来呢？

先独立思考，然后同桌讨论，最后得出用字母表示以上规律，即a+b=b+a。

4. 在画图中论证猜想。

验证后的猜想还需要进一步论证。同学们请看，长度分别为a、b的两条线段，交换两条线段的前后位置，他们的长度和怎么样？（相等），上面线段长度和是a+b，下面呢？（b+a）。通过实践证明，他们是相等的。（图1）

最后得出加法交换律。

数学知識获取的过程，其实就是科学探索的过程。在探索过程中，我们首先依据自身已有的科学认知基础，充分发挥个人的主观能动性，大胆提出“猜想”，并通过实验验证、科学论证，从而形成“真命题”。何为科学的方法？其实就是“猜想与验证”，它早已成为现代科学探索与发现的常规手段。本节课需要解决两个知识点，即加法交换律与加法结合律。为了让学生经历完整的科学探究过程，对科学探究方法有一个较为整体的感知。在探寻加法交换律时，大胆放手，留给学生充分猜想、验证的空间。教学时，从游戏中的“不公”，激发起学生对“事例”的关注与研究，并在此基础上提出猜想，进而检验猜想、论证猜想，让学生经历完整的科学探究过程。

探究加法结合律时，让学生在独立思考与小组成员的合作下再次经历以上探究过程，进而让科学方法论的种子在学生的心田生根发芽。以上教学过程，以知识线为明线，而隐藏在知识后面的方法线是暗线。整个教学过程，教师始终用暗线牵引着明线。通过教师的引导，知识线使学生掌握了数学知识，而方法线让学生在理性的探究过程中形成了初步的科学方法论，从而促进学生探索未知世界数学智慧的生长。

数学学科的严谨性和系统性要求我们的数学教学必须从整体上把握教学内容。唯有这样，我们才能较为准确地把握教学目标，才能把数学教得本质而自然，才能充分发挥数学的育人价值。同时，智慧数学强调课堂中的整体性，也是由学生数学学习的需要决定的。注重了整体性，学生才能了解知识的源头、发展和去向，清晰知识间的联系性，才能将零散的知识点汇集在知识链中，形成较为稳定的知识网络结构。可以这样说，唯有注重整体性的教学才是好的数学教学，也只有整体建构的数学教学，才能生长出智慧的火花。

参考文献

[1] 陈士文.“智慧数学”的内涵及特质[J].江苏教育，2011（10）.

[2] 章建跃.从整体性上把握好数学内容[J].中小学数学：高中版，2010 （03）.

[3] 蔡月珍，陈士文.教学板块：学生智慧生长的根脉[J].小学教学研究：教学版，2013 （11） .

[责任编辑：陈国庆]