柔性关节空间机械臂的自适应滑模控制

吴 昊，毛新涛，刘鹭航，王崑声

(1. 中国航天系统科学与工程研究院，北京 100037； 2. 北京控制工程研究所，北京 100094;3. 北京轩宇空间科技有限公司，北京 100194)

0 引 言

柔性关节空间机械臂是空间任务的重要执行机构，可以辅助航天员出舱进行空间作业，也可完成释放、回收某些宇航设备以及在轨维修等各种宇航空间任务。随着空间科学技术的不断发展，柔性关节空间机械臂作为一种具有高负载/自重比、质量轻、功耗低等优点的机械装备，其作用愈发重要[1-5]。然而，较高的灵活性极易引起机械振动现象，使其难以控制。近年来，关于柔性关节空间机械臂控制问题的研究成果大量涌现[6-8]。文献[7]提出了一种抗饱和非线性PD控制器解决柔性关节空间机械臂的控制问题，这种控制策略器的优点是对输出信号的饱和问题具有一定的抵抗能力。文献[9]使用反步法的思想设计控制器，实现了柔性关节空间机械臂的镇定控制。此外，还有很多有效的关于柔性关节空间机械臂控制器设计的控制策略，相关工作可以参考文献[10-11]。

不确定性通常以多种复杂的形式存在，进而影响系统的性能，甚至导致系统发散。不确定性通常可分为模型误差、未建模动态、外部干扰等。单纯的反馈控制设计方法已经不再能使得闭环系统达到令人满意的性能指标[12-13]。滑模控制，作为一种强鲁棒性的控制方法，自Utkin教授于20世纪末提出之后，就受到了控制界的广泛关注。文献[14]中，作者结合滑模控制理论与自抗扰方法，提出了一个有效的思路设计鲁棒控制器以解决非线性系统存在不确定性的控制问题。在滑模控制中，通常先设计一个可行的滑模面，从而使滑动模态性能达到预期的性能指标。通过设计合适的趋近律，闭环系统的状态将进入一个特定的模态或称之为流形;并使之保持在该模态上。在滑模控制器的作用下，闭环系统的响应通常包含两个模态：第一是非滑动模态，即从状态空间中的任何位置开始，系统状态在趋近律作用下向滑模面运动；第二个是滑动流形，此时闭环系统状态将保持在滑模面上并趋于稳定。鉴于滑模控制方法具备的诸多如快速响应特性、优良的暂态性能以及良好的鲁棒性，滑模控制理论在学术界与工业界得到广泛的关注与应用[15-16]。如文献[16]设计了一种双幂次趋近律，提高系统状态收敛速度同时降低了抖振效应。

时滞可导致闭环系统控制性能较差，甚至影响系统的稳定性[17-19]。为降低时滞对系统性能的影响，大量学者开展了时滞系统的稳定性分析与控制器设计工作[20-23]。Wu在文献[21]中，提出一种时滞依赖的Lyapunov分析方法，为一类离散时间非线性系统进行控制器的设计。由于采用了时滞依赖的方法，所设计的控制器的保守性得到降低。

综上所述，时滞柔性关节空间机械臂系统的控制问题，已然成为了控制领域中值得关注的热点问题。本文基于线性矩阵不等式等凸优化手段，研究一类时滞柔性关节空间机械臂的鲁棒滑模控制问题。在第1节中，针对一类典型时滞柔性关节空间机械臂进行模型的构建与分析。第2节设计了一个基于系统状态与控制输入的滑模面，提出了一种新的自适应滑模控制器，并证明闭环系统状态在有限时间内到达所设计的滑模面。第3节采用线性矩阵不等式方法，给出了滑动模态的渐近稳定条件。第4节对一个典型的柔性关节空间机械臂系统进行仿真，阐释了所设计控制器的有效性。第5节对本文的研究进行了总结。

1 时滞柔性关节空间机械臂的建模

考察如下典型的柔性关节空间机械臂系统[24]。转动副由直流电机直接驱动，其关节可通过一个具有线性弹性系数K的扭转弹簧系统逼近，如图1所示。

图1 空间机械臂控制结构示意图Fig.1 Structure of space manipulator

该空间机械臂由如下动力学方程描述

(1)

式中：q1和q2分别为关节角度和电机转动角度,I是转动臂的转动惯量，J是电机的惯性矩，K是关节的弹性刚度系数，g是重力常数,M是臂的质量，L是臂的长度,u为输入的控制扭矩。λ为范数有界的摩擦力。

(2)

考虑到信号传输的时滞因素，根据文献[25]，空间机械臂系统(2)可表示为如下时滞系统动态模型，

(3)

式中：x(t)∈Rn是状态向量，u(t)∈Rm是控制输入向量，z(t)∈Rp是系统评价输出，w(t)=λ是属于L2[0,∞)空间的干扰;A∈Rn×n,Ad∈Rn×n,B∈Rn×m,H∈Rn×1是常系统矩阵，τ为常数时间延迟，φ(t)是在[-τ,0]上的一个连续的初始函数;类似文献[24]， 考虑到系统的不确定性，选取参数摄动系数为10%，ΔA，ΔB，ΔAd是参数不确定性且范数有界，即存在一组正常数εA,εAd使得下式成立

(4)

注1. 时滞系数矩阵Ad与系统矩阵A是比例关系，即Ad=(1-T)A，式中：0

2 滑模面与自适应滑模控制器设计

2.1 滑模面设计

设计如下形式的滑模面，

(5)

2.2 鲁棒自适应滑模控制器设计

基于上述的滑模面(切换面)，式(6)给出了面向系统(3)的鲁棒滑模控制器，

(6)

定理1. 系统(3)的状态轨线能够在鲁棒滑模控制器(6)的作用下，在有限时间内到达给定的切换面(5)。

证. 将控制律(6)代入系统(3)，得

(7)

对于t>0，考察Lyapunov函数

V1(t)=sT(t)s(t)

(8)

沿着系统(19)轨迹，对Lyapunov函数V1(t)求微分可得，

(9)

(10)

闭环系统(7)的状态在控制律(6)的作用下有限时间内到达滑模面(5)。证毕。

2.3 自适应鲁棒滑模控制器设计

注意到控制器(6)中，存在一个假设条件，即外部扰动w(t)的上界ρ(t)是已知的。而实际情况中，ρ(t)可能是未知的，或难以测量得到。因此，对ρ(t)做出估计就显得尤为重要。式(11)给出了一种新的自适应鲁棒滑模控制器，

(11)

定理2. 系统(3)的状态轨线能够在自适应鲁棒滑模控制器(11)的作用下，在有限时间内到达滑模面(5)。

证.将控制律(11)代入系统(3)，得

(12)

对于t>0，考察Lyapunov函数

(13)

沿着系统(19)轨迹，对Lyapunov函数V2(t)求微分可得，

(14)

(15)

闭环系统(12)的状态在控制律(11)的作用下有限时间内到达滑模面(5)。证毕。

注2. 控制器(6)和(11)是以微分方程的形式表现的。通过扩维处理，系统矩阵的参数不确定项与控制输入矩阵的参数不确定项得以相互解耦。相比于传统的滑模控制器[21]，滑模控制器(6)和(7)能够处理一类控制输入矩阵中含有不确定项的非线性系统控制问题。

注3. 由于控制器(11)引入了自适应律，因此能够在一定条件下估计外部扰动的一致上界。因此，自适应鲁棒滑模控制器(11)相比于控制器(6)而言，应用的范围得以进一步扩大。

3 滑动流形稳定性分析

本节将分析滑动模态的渐近稳定性。

系统(3)的模型可改写为，

(16)

系统(3)在滑模面(5)上的滑动模态可表示为

(17)

定理3. 给定一个正的常数γ>0，如果存在两个正定矩阵P,Q∈Rm+n，两个适当维数的矩阵W1，W2，以及一个正数ε，使得下述线性矩阵不等式(LMI)成立，

(18)

证. 步骤1:考察当外部扰动w(t)=0时，闭环系统(17)的稳定性。

建立如下的Lyapunov-Krasovskii泛函，

(19)

(20)

(21)

基于式(21)，若下述不等式成立，则式(20)成立

(22)

式中：

(23)

步骤2:考察当外部扰动w(t)≠0时，滑动模态(17)的稳定性。

JT(t)ΓJ(t)

(24)

式中：

(25)

基于Schur补引理[11]，可得

(26)

式中：

4 仿真校验

选取空间机械臂的参数为K=986 Nm/rad,I=0.98 kgm2,J=1.02 kgm2,M=0.21 kg,L=0.12 m,g=9.8 m·s-2。针对空间机械臂系统的控制问题进行仿真校验。根据文献[20]，选取时滞系数T=0.15，即Ad=0.85A, ΔAd=0.85ΔA。注意到，在注1中的项-(MgL/I)sin(x1)的二范数远未达到本文所设定的参数摄动系数幅值上界，因此可在该条件下进行自适应滑模控制器的设计。

图2为τ=0.35 s时，空间机械臂的角度输出，图3为τ=0.35 s时的控制输入曲线。

图2 控制器(6)作用下τ=0.35 s时空间机械臂状态响应Fig.2 System response 1 of the space manipulator when τ=0.35 s with controller (6)

图3 控制器(6)作用下τ=0.35 s时控制输入Fig.3 Control input when τ=0.35 s with controller (6)

从图2～图5可以看出,在第2节所设计的鲁棒滑模控制器的作用下，滑模控制器(6)能够有效控制该空间机械臂，且具有较好的鲁棒干扰抑制性能。

当外部扰动w(t)的一致上界未知时，控制器(6)无法使用。此时，可采用自适应滑模控制器(11)控制该空间机械臂系统。

图4 控制器(6)作用下τ=0.5 s时空间机械臂状态响应Fig.4 System response of the space manipulator when τ=0.5 s with controller (6)

图5 控制器(6)作用下τ=0.5 s时控制输入Fig.5 Control input when τ=0.5 s with controller (6)

图6 控制器(11)作用下τ=0.35 s时空间机械臂状态响应Fig.6 System response 2 of the space manipulator when τ=0.35 s with controller (11)

通过图2～3与图6～7的对比可以发现，在扰动一致上界未知的情况下，仍可采用自适应鲁棒滑模控制器(11)实现空间机械臂系统的控制，且抖振在一定程度上得到有效抑制。此外，当时滞参数存在微小变化的情况下，控制器依然有效。

图7 控制器(11)作用下τ=0.35 s时控制输入Fig.7 Control input when τ=0.35 s with controller (11)

图8 τ=0.35 s时扰动上界估计Fig.8 Estimation of the uniform upper-bound when τ=0.35 s

5 结 论

面向时滞空间机械臂控制系统，本文基于滑模控制理论进行了鲁棒滑模控制器与自适应滑模控制器的设计。两种控制器有效实现空间机械臂的鲁棒控制问题。其中，自适应滑模控制器能够在外部扰动未知的情况下，对扰动信号的一致上界进行估计。最后，通过三个案例的仿真校验，阐明了所提出的控制方案的可行性。