含时线性势的量子经典对应

张治国, 封文江, 郑 伟, 陈 皓

(沈阳师范大学 物理科学与技术学院, 沈阳 110034)

0 引 言

从量子力学发展一开始,量子与经典对应关系就是一个热门话题,其中要数Bohr的对应原理最为流行[1-4]。该原理指出,在大量子数近似下量子力学应过渡到经典力学。许多研究工作都是从波函数或Schrödinger方程出发的。近来,Heisenberg对应原理[5-8](HCP)越来越受到研究者的关注[16-18]。Heisenberg对应原理从量子矩阵元出发,指出量子力学矩阵元在经典近似下对应经典物理量的Fourier系数,根据Heisenberg对应原理[5-8],所有可能的矩阵元之和将给出经典运动方程的解。因此,HCP提供了一种从量子力学的经典极限得到经典方程的解的方法[3]。HCP的思想应用到含时线性系统,得到含时哈密顿谐振子的经典精确解。

很多人研究过含时线性势(TLP)的精确波函数[4-6],不同于通常的不变量理论,有学者[5]通过假定某种形式的波函数,直接从薛定谔方程中导出波函数,这种方法也称作试探函数法[3-7]。然而,文献[5]中的方法对于通常在推导中的变形和假设理解起来有一点复杂和困难。在文献[5]中,将TLP的波函数与自由粒子联系起来。在本文中,将TLP的波函数应用到含时系统中[4-6]。利用试探波函数方法,发现HCP可以应用到TLP问题上,并且得到了体系的波函数[3,7]。含时线性薛定谔方程的解析解在许多物理问题有着广泛的应用。例如,一个在含时电场中运动的带电粒子,噪声引起电流反转[9],在线性势中布朗粒子的运动[10-13]等。

1 含时系统的精确波函数

系统含时线性势的哈密顿量

(1)

其中M(t)和F(t)分别是含时质量和外力。

在不含时情况下,体系的波函数为

(2)

其中E是能量。

含时系统(1)中的波函数可看作(2)的一般情况。

(3)

其中A(t)、B(t)、C(t)和f(x,t)都是实函数。

以式(3)作为试验函数,我们着手开始。

引进一个变量

y=A(t)[x+B(t)]

(4)

波函数式(3)可以改写为

(5)

与式(2)比较可以发现,φ(y)是含时系统在F=1,M=1/2和E=0时体系的波函数,并且满足

(6)

因此,含时体系波函数涉及含时体系(6)。

将式(5)代入薛定谔方程Hψ(x,t)=i∂ψ(x,t)/∂t,并且使其两边的实部和虚部分别相等。有

将式(6)代入式(7a)结果是

(8)

回想起f(x,t)=D(t)x+φ(t),从式(8)得到

(9)

为简化式(7b),将证明φ(y)和∂φ(y)/∂y是彼此正交的。

利用式(10),方程式(7b)归纳为

(11)

第2个方程意味着C是个常量。第2个方程进一步变成dA/dt=0(因此,A也是一个常量)并且

(12)

函数D(t)由方程式(9)的第1式给出,其中A0为常量。

(13)

函数g(t)满足方程dg(t)/dt=F(t),并且事实上就是经典的动量。将式(13)代入式(12),得到

(14)

将式(13)、式(14)代入式(9)中的第2个方程,得到

(15)

将式(13)～式(15)代入式(3),最终导出波函数。在含时情况下,常数A、B0分别为A=(2MF)1/3和B0=E/F。因此,B0是量子数。对于含时体系,归一化条件为

(16)

决定常数C=A。

在A=0和B=0情况下,如果将本文中A看作文献[5]中的B,波函数式(3)将满足在文献[5]中的艾里包的解(8)。

这里注意到导出波函数的方法是非常基本并且过程非常的简单。

2 量子经典对应

假设Ω是薛定谔绘景中的一个算符,假定一个量

(17)

是所有可能的量子矩阵元的和。根据HCP[1-3],在经典极限下,每一个量子矩阵元对应着经典物理量的付里叶展开的一个系数。

因此,在经典极限下,ΩB0(t)应该就是一个经典的物理量。从薛定谔方程Hψ(x,t)=i∂ψ(x,t)/∂t,有

(18)

(19)

从形式上,方程(19)等同于经典运动方程。

同样可以再次合理预期,xB0(t)、pB0(t)会变成经典方程的解。

从定义(17)直接计算,并且由波函数(3)可给出

在推导中用到了下列关系:

(21)

我们看到pB0(t)是经典动量。由式(20)容易证明关系pB0(t)=MdxB0(t)/dt,这意味着xB0(t)是经典坐标。因此,xB0(t)和pB0(t)确实是经典运动方程的解。

3 结 论

本文中通过将波函数与含时体系关联起来,得到了含时线性势的精确波函数。更早得到的解就是这里给出的解的特殊情况。利用精确波函数,通过量子矩阵元推导出了经典运动方程的解。这说明HCP在理解量子力学与经典力学关系上是一个非常显著的工具。经典精确解本身就是在经典力学中获得粒子轨道非常重要的途径。