探究一道题的多种解法

张 波

(黑龙江省哈尔滨市第一二二中学 150040)

题目设x、y是实数，且x2+xy+y2=1，求p=-x2+xy-y2的取值范围.

由条件x2+xy+y2=1知x与y不能同时为零.

(1)当x与y中有一个为零，另一个不为零时，显然p=-1.

点评本解法的关节点是对x与y符号的讨论，这是因为x2+y2≥2xy取等号与x2+y2≥-2xy取等号时，x与y的符号条件不一样.

解法3(判别式法)由

x2+xy+y2=1⟹p(x2+xy+y2)=p=-x2+xy-y2⟹(p+1)x2+(p-1)xy+(p+1)y2=0.

(1)当p+1=0，即p=-1时，x=0,y=±1，符合题意.

点评本解法中要注意两个易错点：①讨论后明确了y≠0，才能化得方程(*)；②对方程(*)应用判别式的前提是一元二次方程，因此要考虑二次项系数p+1是否为零.

点评本解法逆用韦达定理，根据导出的x+y,xy的表达式构造出一元二次方程，再利用判别式轻松获解.但应注意解题中隐含条件p≥-3，才能使解题过程严谨无误.

解法5(利用非负数)

点评本解法中要注意构造非负数的两种形式，若只考虑到非负数的一种形式，将导致以偏概全的错误产生.

解法6(引入等差数列)

点评本解法中引入了公差d，从而简化了p的表达式，只需确定d的取值范围，就可获得答案.

解法7(施行三角代换)

点评本解法思路常规，做出的三角代换也很自然，但三角运算较复杂，需要具有一定的三角变换功底.

解法8(利用齐次分式)

点评对于二次齐次型的分式，都可以用上述方法化为三角分式的形式，特别当x2与y2的系数相同时，所化得的式子更为简单.

在进行高考数学专题复习时，为避免题海战术，教师应选择典型题目，进行一题多解的深入探究，鼓励学生广开思路，不断挖掘，就会探索出多种新颖而富于创造性的解题思路.这对于活跃课堂教学氛围，开发学生智力，提高复习效果大为有益.这完全符合新课标所倡导的提升学生素养、培养创新型人才的教学理念.