题目小世界 思维大舞台——2018浙江数学高考第22题

沈海全

(浙江省绍兴市越州中学 312000)

2018年是浙江省新高考开局的第二年，也是全国2017新课标公布后的第一年，试卷严格遵循《2017年浙江省普通高考考试说明》，依照《浙江省普通高中学科教学指导意见》，既注重基础又兼顾选拔梯度，秉承了“简约中显大气，朴实中有灵气”的风格. 整卷试题充分考虑了解题方法的大众化与常规化，不在冷僻的技巧上设置问题，努力使学生在通性通法上下功夫，大部分试题中规中矩、不偏不怪，材料背景熟悉，设问方式常规，解题方法基本，与平时练习匹配度高，同时又坚持能力立意的原则，充分考查了学生的思维品质与学习潜能，彰显了对数学核心素养的考查要求，命题立意高、构思巧、回味浓，既有利于高校选拔优秀人才，又有利于引导中学教学. 下面就2018年浙江考题第22题结合现场评卷情况从试题背景、试题解法、试题意图、高观点下的试题、试题拓展等多方位进行仔细研读，最后指出试题对平时教学的启示.

一、试题呈现

(1)若在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8-8ln2；

(2)若a≤3-4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.

二、试题背景

本题以函数与导数、不等式等核心知识交汇为背景，载体函数简单熟悉，叙述简洁清楚，分层设问，解题入口宽，方法多样，秉承了浙江试题一贯的风格. 从改卷现场来看，许多考生突然面对函数压轴，有畏难心理，但不乏有许多高手.

三、试题解法

1.第(1)问解法分析

第(1)问解法一(省考试院给出的解答)

x(0,16)16(16,+)g′(x)-0+g(x)↘2-4ln2↗

所以g(x)在[256,+)上单调递增，故g(x1x2)>g(256)=8-8ln2，即f(x1)+f(x2)>8-8ln2.

评注第一问入口方向清楚，但从改卷情况来看，利用导数相等得到双变量关系后的化简处理及整体思想转化为单变量问题对学生提出了较高的要求. 但上述每一步的思维对话是数学学习中的一种思考问题、解决问题的良好思维品质.

第(1)问解法二

评注这种解法对导数相等这一条件等价转化为方程根的问题，从而有效地将双变量问题转化为单变量问题. 从改卷现场情况来看，全省做全对的同学中有一大部分采用了此种解法.

2.第(2)问解法分析

第(2)问解法一(省考试院给出的解答)

所以,存在x0∈(m,n)使f(x0)=kx0+a，

所以，对任意的a∈R及k∈(0,+),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.由f(x)=kx+a得设则其中

由(1)可知g(x)≥g(16),又a≤3-4ln2，故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln2+a≤0.

所以h′(x)≤0，即函数h(x)在(0,+)上单调递减，因此方程f(x)-kx-a=0至多1个实根.

综上，当a≤3-4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.

评注这种解题思路是先证明存在性，再证明唯一性. 但在证明存在性时选取的两个点难度很大，从改卷情况来看，全省没有考生从这个角度来说明. 在证明唯一性时采用了常见的变量分离的方法，进而转为研究新函数的单调性问题，且在给定条件下新函数单调性固定，避免了讨论.

第(2)问解法二

由(1)可知g(x)≥g(16),又a≤3-4ln2，故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln2+a≤0.

所以h′(x)≤0，即函数h(x)在(0,+)上单调递减.又当x→0+,h(x)→+，当x→+,h(x)→0+，所以当a≤3-4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.

评注这种解题思路最为简洁，也是做全对考生中采用最多的方法. 运用变量分离，构造新函数证明至多一个零点，又利用极限的思想说明零点唯一. 虽然考试说明中对极限的定义不作要求，但平时教学中在处理函数图象问题时经常要用极限的思想来直观想象和感受，学生比较熟悉.

第(2)问解法三

下面证明唯一性.

下面问题转化为常见的极值的最值问题.

评注这种解题思路也是比较常规，先利用极限的思想说明零点的存在性. 但在证明唯一性时没有变量分离，而是根据参数讨论动态函数的单调性，最后转化为动态函数极值的最值问题，对学生能力要求较高.

四、试题意图

从以上解题过程中我们充分感受到浙江省主观题命制“起点低，入口宽，重通解，重思想，讲究策略，能力素养立意”的高考导向.本题的考查意图可从以下三个方面来阐述：

1.知识能力层面：重点考查高中数学的核心知识函数与导数、不等式，以此为载体考查学生分析和解决数学问题的综合能力，如转化化归能力、推理论证能力、运算能力等，为能力层次较高的学生提供了恰当的思考空间.

2.思想思维层面：考查学生函数与方程、等价转换、数形结合、分类讨论等数学思想,考查了学生数学思维的灵活性、发散性.

3.核心素养层面：考查学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学学科核心素养的形成和发展.

五、更高观点下的试题

德国数学家克莱因曾说过“站得更高才能看得更远”，而高等数学能让我们站在高处，它的基本思想、基本方法和基本问题为高考试题的命制提供了丰富的背景和思路，它无疑是考查能力素养的一块沃土. 对于高观点下的数学试题，并不是要求教师提前教高等数学知识，而是要求我们教师研究高观点下高考试题的命制思路，从而有效地指导我们的中学数学课堂教学. 本题就是利用高等数学中函数的凹凸性及函数拐点来命制的. 下面结合图象作简要分析.

第一问中f′(x1)=f′(x2)，结合f′(x)的图象可以发现x1，x2不关于x=16对称，即函数f′(x)的极值点发生偏移(其它省份考的非常普遍)，相应的原函数f(x)的图象在拐点处出现偏移(虚线部分为关于拐点的对称图象).根据图象显然可得f(x1)+f(x2)>8-8ln2=2f(16).

鉴于以上分析，试题命制的思路已经非常清晰，为试题的变式拓展提供了方向和依据.

六、试题拓展

1.第(1)问变式拓展

证明由题意不妨设08，只要证x2>8-x1>4.

因为f(x)在(4,+)上单调递增，所以只要证f(x2)>f(8-x1)，即证f(x1)>f(8-x1).

所以F(x1)=f(x1)-f(8-x1)>F(4)=0,即f(x1)>f(8-x1)，即x1+x2>8.

证明由题意不妨设48-8ln2.

可证得当x2∈(16,32)时，F′(x)>0，所以F(x)在(16,32)上单调递增.

所以F(x2)=f(x2)+f(32-x2)>F(16)=2f(16)=8-8ln2，所以结论成立.

变式三已知函数f(x)=2lnx+x2+x，若正实数x1,x2且x1≠x2满足f(x1)+f(x2)=4,求证：x1+x2>2.

限于篇幅证明略.

评注变式一为极值点偏移问题，变式二为拐点偏移问题，变式三是改变函数背景的拐点偏移问题.此类问题是其它省份的热门考题. 相信在浙江省也会是一个新的热点问题.

2.第(2)问变式拓展

变式二已知函数f(x)=2lnx+x2+x.当a≥-3时，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点. 限于篇幅证明略.

评注变式一改变设问，变式二三改变函数背景，本质都是拐点处穿透切线问题.

七、链接其它省份高考

以下试题均为其它省份考过的偏移问题，限于篇幅不再给出具体解答.

1.(2010天津)已知函数f(x)=xe-x，若f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，证明：x1+x2>2.

变式：已知函数f(x)=x-aex.有两个不同的零点x1,x2，证明：x1+x2>2.

2.(2011辽宁)已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.

(1)讨论f(x)的单调性；

(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A,B两点，线段A,B中点的横坐标为x0，证明：f′(x0)<0.

3.(2016新课标)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个不同的零点x1,x2，证明：x1+x2<2.

八、教学启示

本题既考查了基础知识，基本的思想方法，又突出对学生能力素养的考查. 对课堂教学是一种很好的引导，引导教师、学生避免将大量的精力消耗在盲目套用所谓的套路、秒杀等技巧上. 从改卷情况来看，学生缺少的是扎实的基础和解决数学问题的思维及策略的选择. 纵向研究挖掘思维的深度，横向联系培养思维的宽度，延伸拓展成就思维的高度，需要我们教师在平时的教学中帮助学生横纵多角度的探索、一题多变、提升策略，站在更高的观点帮助学生理解题目本质，触及数学本质的教学更能激发学生的学习兴趣，提升学生的数学核心素养.