分离函数法的类型及简单运用

武增明

(云南省玉溪第一中学 653100)

一、把一个函数分离成两个函数的和，求函数的最值(值域)

有些求函数的最值(值域)问题，用常规方法很难求解，甚至几乎解不出来.若想到把一个函数f(x)分离成两个函数g(x)与h(x)的和g(x)+h(x)，使两个函数g(x)和h(x)都能判断其单调性，且使两个函数g(x)和h(x)都能在同一处取得最值(极限值)，从而问题破解.

例1已知函数f(x)=(2x2-2x-1)ex.

(1)设函数h(x)=exf(x)，试讨论函数h(x)的单调性；

(2)设函数T(x)=(x-1)(2xe2x-1)+ex-1-e2x，求函数T(x)的最小值.

解(1)函数h(x)的定义域为(-∞，+∞)，h′(x)=4(x2-1)e2x，

当x∈(-∞，-1)时，h′(x)>0，h(x)在(-∞，-1]上为单调增函数；

当x∈(1，+∞)时，h′(x)>0，h(x)在[1，+∞)上为单调增函数；

当x∈(-1，1)时，h′(x)<0，h(x)在[-1，1]上为单调减函数.

于是，函数h(x)在(-∞，-1] ，[1，+∞)上为单调增函数，在[-1，1]上为单调减函数.

(2)函数T(x)=(x-1)(2xe2x-1)+ex-1-e2x=h(x)+ex-1-x+1，

由(1)得，函数h(x)在(-∞，-1] ，[1，+∞)上单增，在[-1，1]上单减，

又x<-1时，h(x)>0，而h(1)=-e2<0，

故函数h(x)的最小值为h(1)=-e2.

令r(x)=ex-1-x+1，则r′(x)=ex-1-1，

当x∈(-∞，1)时，r′(x)<0，r(x)在(-∞，1]上为单调减函数；

当x∈[1，+∞)时，r′(x)>0，r(x)在[1，+∞)上为单调增函数.

所以函数r(x)的最小值为r(1)=1.

故当x=1时，函数T(x)的最小值为1-e2.

评注(1)此题的第(1)问起提示作用，也就是说，如果没有第(1)问，直接求解第(2)问，难度就增加了很多.(2)通过求导来判断函数T(x)的单调性来求其最小值，难度是巨大的，甚至不可能做到.

二、把一个函数分离成两个函数的积，证明函数不等式

有些函数不等式的证明，用常规方法很难奏效，甚至几乎证不出来.若想到把一个函数f(x)分离成两个函数g(x)与h(x)的积g(x)h(x)，且使两个函数g(x)和h(x)都能判断其函数值的符号或者单调性，从而可使问题获解.

三、把一个函数分离成两个独立的函数，证明函数不等式

有些函数不等式的证明，用常规思维很难证明，甚至几乎行不通.若考虑到把一个函数f(x)分离成两个独立的函数g(x)与h(x)，且使两个函数g(x)和h(x)都能判断其单调性，进而分别求出其最值(值域)，问题得解.

例3证明：x∈R，a≤1时，xex+a+x2-2x+1>0.

证明要证xex+a+x2-2x+1>0，通过分离函数，即证xex+a>-(x-1)2.

当x>0时，xex+a>0，-(x-1)2≤0，xex+a>-(x-1)2成立.

当x≤0时，f(x)=xex+a的导数f′(x)=(x+1)ex+a，从而f(x)在区间[-1，+∞)上单调递增，在区间(-∞，-1]上单调递减，于是f(x)min=f(-1)=-ea-1.

而g(x)=-(x-1)2(x≤0)的最大值为g(0)=-1.

由于a≤1，有ea-1≤1，且两函数不在同一处取到最值，故x∈R，a≤1时，xex+a>-(x-1)2，即xex+a+x2-2x+1>0.

评注(1)通过求导来求函数F(x)=xex+a+x2-2x+1的单调性，进而求出其最值(值域)，是几乎行不通的.(2)要注意“f(x)≥g(x)恒成立”是“f(x)min≥g(x)max”的必要不充分条件.

四、把函数ex和lnx分离开，证明函数不等式

(1)求a，b；

(2)证明：f(x)>1.

分析(1)a=1，b=2(过程略).

综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.

五、分离出

例5(2015年高考全国卷Ⅰ·理12)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x)<0，则a的取值范围是( ).

分析本题若直接求导，就会多次求导后无果；若选择分离参数法，也无法进行下去.我们可以尝试分离出两个常见函数进行求解.

解因为f(x)=ex(2x-1)-ax+a，f(x)<0⟺ex(2x-1)

例6 函数f(x)=lnx-ax2+x有两个零点，则实数a的取值范围是( ).

A. (0，1) B. (-∞，1)

分析本题直接求导不好求解，而用分离参数法则比较复杂，小题大做.若将f(x)=lnx-ax2+x=0分离成lnx=ax2-x，利用图象来研究，也很难解释清楚.有没有更好的解法呢？

画出y=g(x)与y=h(x)的图象，如图2所示，可知当a=1时，y=h(x)与y=g(x)相切.当0

六、反思

从2010年起，高考数学对分离函数法有了明显的关注，导向清晰，而且近几年高考中分离函数法的类型有了新的变化，我们应该加强对此模块的解法研究.分离参数法也是分离函数法，只不过分离参数法中的一个函数是常函数而已.为了让学生更好地理解并应用分离函数法，在教学中，教师应让学生熟知以下函数的图象(如图3).