老师，我怎么学会思考

王思俭

铃声响起，考试结束，教室里顿时沸腾起来，七嘴八舌，议论纷纷：

这道平面几何与向量数量积结合的题目我又没有做出来;

那道类似于2018年某省市的高考题，我足足做了15分钟，结果还是以失败告终;

这道题我一开始就是利用基底求解，但无法表示所要研究的两个向量，后来又建立直角坐标系，写点的坐标时又陷入困境，最终选择放弃;

……

对这类问题，我们应该怎样思考呢？鉴于此，我组织几位同学结合此次测验，围绕“如何思考平面向量问题"展开讨论与交流，旨在帮助同学们学会思考问题，当遇到困难时，学会寻找突破的策略.

生甲：如图1，在平面四边形ABCD中，AB=AD=1，LBAD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，E是BC边上的一点，则AE·DE的取值范围为_____.

这道题我整整花了20分钟也没有攻克下来，关键是怎样学会思考呢？

生乙：如图2，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1.若点E为边CD上的动点，则AE·BE的最小值为（）

A.21/16

B.3/2

C.25/16

D.3

答案是21/16，选A，但本题的图形有变化，而且要求数量积的范围，确实有难度，我也是花了好长时间没有求出结果.

教师：由已知条件，你们可以先求出哪些几何量？生甲先讲你的解题思路，在何处受阻.

生甲：发现△ACB与△ACD为全等三角形，从而推出∠CAB=∠CAD=60°，计算出AC=2，BC=DC=√3.虽然设AB=a，AD=b，所以|a|=|b|=1，a·b=-1/2，但AE与DE怎么才能用所设的基底向量表示呢？又换思路，改设AB=a，BC=b，显然有a·b=0，还是无法进行下去，该怎么思考呢？

教师：就前一个思路而言，BC是否可以用a与b表示呢？如果可以，那么BE就可以用BC表示，这样AE与DE都可以表示出来了.于是我们要考虑几何特征，要对BC进行平移，利用向量加法的几何意义，充分利用平面几何性质.

生丙：用平面几何方法可以做的，运算量蛮大的.如图3，作AF//BC且AF=BC，所以四边形ABCF是矩形，延长CF交AD的延长线于点G，所以AF⊥CG.因为∠GAF=30°，∠CAF=∠ACB=30°，所以∠CAG=60°.又因为∠AGF=60°，所以△ACG为等边三角形，所以F是CG中点，所以GF=CF=AB，且GF//AB，所以四边形ABFG为平行四边形，所以AG=2b，GF=a，所以AF=BC=a+2b.设BE=λBC=λ（a+2b）（0≤λ≤1），所以AE=AB十BE=（λ+1）a+2b，DE=AE-AD=（x+1）a+（2λ-1）b.所以AE.DE=[（2+1）a+2λb]·[（λ+1）a+（2λ-1）b]=3λ2-3-λ+3=3（x*-2++），当λ=1时，AE·DE有最大值3;当λ=1/4时，AE·DE有最小值21/16，所以AE·DE的取值范围是[21/16，3].

众生：这种几何法要作这么多条辅助线，根本想不出来啊！

教师：生丙的思路清晰，结果正确！他的平面几何的知识很扎实！求解向量问题，一要考虑基底向量，二要考虑坐标表示.

生丁：一开始也是利用基底向量做，没搞出来，再换思路——建立直角坐标系求解.由对称性可知，B，D关于AC对称，设AC与BD相交于点O，AC=2，OA=1/2，OC=3/2，BD=√3，现以O为原点，DB所在的直线为x轴，AC所在的直线为y轴，建立如图4所示的直角坐标系，所以A（0，-1/2），B（√3/2，0），D（-√3/2，0），C（0，3/2），BC方程为：y=-√3x+3/2（0≤x≤√3/2）.

设E（x，y），AE=（x，y+1/2），DE=x+√3/2，y），所以AE·DE=x（x+√3/2）+y（y+1/2）=x2+y2+√3/2x+1/2y.又因为y=-√3x+3/2（0≤x≤-√3/2），所以AE·DE=x2+（-√3x+3/2）+√3/2x+1/2（-√3x+3/2）=4x2-3√3x+3（0≤x≤√3/2）.所以當x=0时，AE·DE有最大值3;当x=3√3/8时，AE·DE有最小值21/16，所以AEDE的取值范围是[21/16，3].

生乙：也可以以C点为原点，以AC所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图5，所以A（0，-2），B（√3/2，-3/2），lBC：y=-√3x.设E（x，-√3x），0≤x≤√3/2，下同生丁.

生戊：以A为原点，AC所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图6，所以A（0，0），B（√3/2，1/2），D（-√3/2，1/2），C（0，2），lBC：y=-√3x+2，设E（x，-√3x+2），0≤x≤√3/2下同前文.

教师：坐标法是很简单，三位同学都是抓住对称性，很快就写出了相关点的坐标，将几何问题转化为代数问题，最终也是转化为二次函数在指定闭区间上求解.

生甲：以D为原点，以DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立如图7所示的直角坐标系，所以D（0，0），A（1，0），B（3/2，√3/2），C（0，√3），lBC：y=-√3/3x+√3，设E（x，-√3/3x+√3），0≤x≤3/2，下略.

教师：很好！生甲利用垂直建立直角坐标系，也很快求解了，但比较而言，还是利用对称性较快.请看变题1：

在平面四边形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，点E和点F分别是BC边和DC边上的点，BE=λBC，DF=λDC（0≤λ≤1），求AE·AF的取值范围.

生丁：如图8，建立平面直角坐标系.因为BE=λBC，DF=λDC，所以EF//BD，所以E，F关于y轴对称，设E（xx，-3x+-），所以F（-x，-√3x+-号）.又因为A（0，--），所以AE=（x，-√3x+2），AF=（-x，-√3x+2），因此AE.AF=-x2+（-√3x+2）2=2x2-4√3x+4，0≤x≤Y√3，所以当x=3时，AE·AF取最小值一;当x=0时，AE·AF取最大值4，所以AE·AF的取值范围为[-1/2，4].

教师：正确！抓住EF//BD，使得问题更加清晰，因此解题要先思考如何转化题目中的各种信息，如何挖掘隐含信息，这是解题的关键.请看变题2：

在平面四边形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=120°，BC⊥AB，CD⊥AD，点E和点F分别是BC边和DC边上的点，BE=λBC，CF=λCB

生丙：如图9，建立平面直角坐标系，则

所以当λ=1/2时，AE·AF取最大值。;当λ=0或1时，AE·AF取最小值1，所以AE·AF的取值范围为[1，11/8]

教师：很好！变题2相对复杂一点，生丙先利用线性运算，再利用坐标运算，求出AE与AF的坐标表示.如果将E，F点放在同一条边上，又可以有变题3：

平面四边形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=120°，BC.⊥AB，CD.⊥AD，点M和点N都在边BC上，且MN=√3/2，求AM·AN的取值范围.

生甲：如图10，建立平面直角坐标系，设

接下去该怎么办呢？

生乙：这里0≤x2

教師：答案正确，但过程上存在问题，你们发现吗？

生丙：x2=√3/2不成立，而定义域为[0，√3/4]，由于二次函数图象的对称轴为x=3√3/8，√3/4与√3/2关于直线x=3√3/8对称，因此得出同样的结论.

教师：分析正确！--定要注意消元后的自变量的取值范围，也就是x1的范围交给x2控制了，所以x2的取值范围为[0，√3/4].

生戊：将MN=√3/2投影到水平方向和竖直方向，利用点M的坐标表示点N的坐标，设M（x，y），M在边BC上，且MN=V3，所以N（x-√3/4，y+3/4），求出√3/4≤x≤√3/2.于是AM·AN=x（x-√3/4）+（y+4/5）=4x2-5√3x+11/2.所以当x=√3/4时，AM·AN取最大值5/2;当x=√3/2时，AM·AN取最小值1.所以AM·AN的取值范围为[1，5/2].

教师：很好！他的解法就是减少自变量，其实也就是向量MN的正交分解.

生己：原题的基底向量法中，不需要做这么多的辅助线，抓住AC=4AO，而2AO=a+b，因此AC=2（a+b），所以BC=a+2b.（下略）

教师：太棒了！生己的向量加法的几何意义非常熟练，他抓住AC与AO的长度关系，挖掘题目的隐含条件，这样就大大减少了运算量.因此，在求解平面几何中的向量问题时，如果遇到困难，要注意思考以下问题：

1.题目所提供的信息都转化成数学符号语言了吗？这些信息之间的联系“桥梁”是什么？

2.哪些线段是我们要研究的？题目中的主要线段的位置关系如何？几何量之间有什么隐含关系？

3.我们利用什么策略求解？怎样选择基底向量？要研究的向量又如何线性表示呢？我们研究的平面图形是正三角形、直角三角形、矩形、正方形、菱形、筝形等，就要考虑能否建立坐标系解决呢.

4.本题还有其他解法吗？哪种方法最好？哪种方法是通性通法？

5.本题能否推广？能否改编呢？等等.

实战演练

1.如图11，在△ABC中，C=90°，且AC=BC=3，点M满足BM=2MA，则CM·CB=_____.

2.如图12，在等腰直角三角形ABO中，OA=OB=1，C为AB上靠近点A的四等分点，过点C作AB的垂线l，P为垂线上

任一点，则OP·（OB-0A）=_____.

3.如图13，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP=3PD，AD·AB=_____.

22，则AP·BP的值是

答案与解析

1.解析法一如图14，建立平面直角坐标系.由题意知：A（3，0），B（0，3），设M（x，y），由BM=2MA，得

即M点坐标为（2，1），所以CM·CB=（2，1）·（0，3）=3.

法二CM·CB=（CB+BM）·CB=CB2+CB·（2/3BA）=CB2+2/3CB·（CA-CB）=1/3CB2=3.

2.解析依题意AB=√2，∠OAB=45°，又CP⊥AB，AC=1/4AB，所以OP·（OB-OA）=（OA+1/4AB+CP）·AB=OA·AB+1/4AB2+CP·AB=-1/2.

3.解析由题图可得，AP=AD+DP=AD+1/4AB，BP=BC+CP=BC3/4CD=AD-3/4AB.所以AP·BP=（AD=1/4AB—）·（AD-3/4AB）=AD2-1/2AD·AB-3/16AB2=25-1/2x-3/16x=2.