用转化思想求值研究与应用

葛旭辉

(甘肃省平凉市第四中学 744000)

一、数与形的转化

数缺形少直观，形离数难入微(著名数学家华罗庚教授语).根据所解问题需要，可把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形性质问题转化为数量关系问题来研究，这样既直观又深刻.

在二次函数y=ax2+bx+c的教学中如何让学生在“形”上理解相关知识如“a、b、c”的正负性以及“Δ”符号的几何意义、还有“y=0”，“y>0或y<0”时x的解等都离不开教学中直角坐标系图形的展示.可见，“数”与“形”的结合不仅揭示了知识之间的内在联系，也充分展示了知识之间相互沟通的内在规律性.

例2 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象(见图2)，则下列代数式ab、ac、a+b+c、a-b+c、2a+b、2a-b中，其值为正的式子的个数为( ).

A.2 B.3 C.4 D.5

解答分析时只须紧扣“形”中数的揭示，即函数y在x取特定值0、1、-1等情形下判断出几个较难的式子的值的正负性.这种以“形”为手段，以“数”为目的的方法无时不在函数教学中起着重要的作用.选B.

二、条件的转化

例3a、b为实数，满足a2+b2+ab=1,ab-a2-b2=t,试求t的取值范围.

例4 求使|8x2+18x-45|为质数的整数x的和.

晚唐人古诗，秾鲜柔媚，近诗馀矣。即义山七古，亦以辞胜。独此篇，意则正正堂堂，辞则鹰扬风翙，在尔时如景星庆云，偶然一见。(280)

例5 ①已知a是实数，且使a3+3a2+3a-2=0,求(a+1)1996+(a+1)1997+(a+1)1998的值.

解∵a3+3a2+3a+2=0,∴(a+1)3+1=0,即(a+1)=-1,原式=(-1)1996+(-1)1997+(-1)1998=1-1+1=1.

解由a、b、c均不为0，知b+c,c+a,a+b也均不为0.又a+b+c=0，所以a、b、c中不能全同号，故必有一正二负或一负二正.

说明由已知式通过变形转化得出未知式的值或含有待求式的代数式然后再代入求值，必须注意待求式与已知式之间的结构特征.

三、动态与静态的转化

动点与定点、动直线与定直线等等，都有动态和静态的特征，从静态中探求结论，为动态情形提供证明或计算的目标，促使矛盾转化，可以简化解题过程.

例6 一游泳者沿河逆游而上，于A处将携带的物品(可漂浮)遗失，在继续前游30分钟后发现物品遗失，即刻返回顺游，距A处3千米的B处追到物品，问此河水流速多少？

不妨先假设人在静水里游泳，30分钟后发现物品遗失，即刻返回追取，物品应在A处，而人回游也需30分钟，来回共用了1小时.

再考虑运动状态，由于物品是漂浮的，它顺水而下，移动了3km，这段距离是在人来回共用去1小时内完成的，故河水的流速为3km/h.答：略.

四、一般与特殊的转化

由于特殊问题常常比较简单，并且特殊问题的解法孕育着一般问题的解决.因此，特殊化是一种常用的解题思想方法.

分析Pi是不确定的点，是否对每个i来说，mi的值都确定？不妨用特殊点作探索，当Pi为点B或C时，mi=4；当Pi为BC中点时，mi=4,故可作这样的猜想：对BC边上的任一点Pi均有mi=4，然后设法证明或推翻这个猜想.

五、数据处理的转化

例8 甲、乙两同学做“投球进筐”游戏，商定：每人玩5局，每局在指定线外将一个皮球投往筐中，一次未进可再投第二次，以此类推，但最多只能投6次.当投进时，该局结束，并记下投球次数，当6次都未投进时，该局也结束，并记为“×”.两人五局投球情况如下：

第一局第二局第三局第四局第五局甲5次×4次×1次乙×2次4次2次×

第一局第二局第三局第四局第五局甲得分乙得分

(1)为了计算得分，双方约定，记“×”的该局得0分，其它局得分的计算方法要满足两个条件：

①投球次数越多，得分越低；

②得分为正数，请你按约定的要求，用公式、表格、语言叙述等方式，选取其中一种，写出一个将其他局的投球次数n换算成得分M的具体方案.

(2)请根据上述约定和你写出的方案，将甲乙两人的每局得分，填入牌上的表格中，并从平均分的角度来判断谁投得更好.

解析这类题目看似十分复杂，不易得分.但只要理解其意义，抓住本质问题，进行科学的、合理的方案设计，问题是不难的.值得注意的是本例较一般新题更具有创新性和开放性，语言表达更要准确.