几何变换的“奥秘”

江苏省无锡市蠡园中学九（7）班 于 点

上周五的午间，我和几位好朋友正围坐在一起“吹牛”。突然，我同桌冲了进来，手里挥着几张纸，兴冲冲地对我们说：“来，看看这道中考题！”于是，我们的话题与注意力马上转移到试题上。

考题再现如图1，已知∠MON=120°，点A、B分别在OM、ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC、AD，有下列结论：①AD=CD；②∠ACD的大小随着α的变化而变化；③当α=30°时，四边形OADC为菱形；④△ACD面积的最大值为。其中，正确的是____。

图1

显然，根据对称性，我们可以知道OM′是AC的垂直平分线，所以AD=CD。哈哈，结论①太简单了！

图2

再看结论②。角度？旋转？我的脑海中闪出一个字——圆。不管了，试试再说。如图2，我以O为圆心，OA长为半径作⊙O，根据“圆的内接四边形对角互补”可得∠ACB=180°-∠E=180°-60°=120°，所以∠ACD=60°。所以结论②是错误的。

做完一半的题目，我松了一口气，心想前面的两题不难，但是后面的应该不会这么简单吧。于是，我又埋头苦干了。当α=30°时，∠COD=∠AOD=30°，又因为OC=OA，所以△AOC是等边三角形。另一方面，由于DC=DA，∠ACD=60°，所以△ACD也是等边三角形。故OC=OA=AC=AD=CD，因此，四边形OADC为菱形。所以结论③也正确。

做完前三问，我有些沾沾自喜，看向同桌，她却淡定地说：“别急，还有一个结论呢！”我一看，不就是求最大面积嘛。由于△ACD是等边三角形，所以只要边长取得最大值，面积就相应地取得最大值。在图2中，AC是☉O的一条弦，如果最大，只要是直径就可以了。接下来就看看能否取得这种情形即可：由于∠AOC=2α，所以当α=90°时，∠AOC=180°，此时，AC即为直径。接下来就可求得△ACD的面积=，化简结果为所以④也正确。

这道关于几何变换（旋转、翻折）的题目，其奥秘就在于变换前后重合的量相等，虽只是填空，但解题时也需小题大做。对于一些常见题型，我们要有一些基本的应对策略。如果遇到一些特殊角度，我们在解题时也要学会联想相关的特殊性质。

教师点评

选正确结论的问题一直是难点，小作者从旋转、对称的基本性质入手，层层递进，引入“圆”并最终解决该图形变换问题。同学们仔细体会，角在圆中变为“圆周角，圆心角”，线段在圆中变为“弦、直径”，从而可以发现不变的量及变换的量的最值，是不是收获很大？