图形万变不离其宗

毛巾钧

“图形的变化”这一知识点是初中几何的重要内容，主要包括图形的平移、旋转和轴对称等。下面整理了几种典型错例并予以剖析，希望对同学们有所帮助。

一、概念不清

例1在矩形纸片ABCD中，AB=3，BC=2，沿对角线AC剪开（如图1）。固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图2），当两个三角形重叠部分的面积最大时，平移的距离AA′等于（ ）。

A.1 B.1.5 C.2 D.0.8或1.2

图1

图2

【错解】D。

【错因】本题是平移背景下二次函数的最值问题。很多同学往往只停留在直观的感受层面，难以从平移的定义和性质出发进行推理和计算。

【正解】本题根据平移的性质得到平行，进而得出三角形相似，同时得到重叠部分为平行四边形。如图2，设A′B与AC的交点为T，即有△AA′T∽△ADC。设平移的距离AA′=x，根据相似得，再利用平行四边形面积公式，得出重叠部分的面积·（2-x），求此二次函数取最大值时的x值即可。

正确答案：A。

二、性质不明

例2如图3，在正方形ABCD中，已知P为边AD的中点，Q为边BC上一点，且把这个正方形折叠，使得P、Q重合，折痕为MN，则

图3

图4

【错解】。

【错因】不会分析“折叠”，难以联想到折叠的性质——对称轴垂直平分对称点的连线，无从下手，胡乱猜测答案。

【正解】同学们解读题意时，应充分联系轴对称的性质。这里主要是运用“对称轴垂直平分对称点连线”，连接PQ，如图4，可得MN垂直平分PQ。进一步根据垂直平分的性质，连接MP、MQ、NP、NQ，可得MP=MQ，NP=NQ，根据条件，不妨设AP=PD=2a，BQ=a，CQ=3a，AM=x，BM=4a-x，在Rt△AMP与Rt△BMQ中，再利用勾股定理，可得（2a）2+x2=a2+（4a-x）2，解得。同理可得

正确答案

三、变化不全

例3 如图5，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是射线CD上的一个动点，把△BCE沿BE折叠，点C的对应点为F。当点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长。

图5

【错解】根据折叠，得BF=BC=3，设EF=CE=x，∠F=∠C=90°，过点F作AB的垂线，利用“K字形相似”，可得

【错因】题目条件中“射线”两字很重要，这是一个提示。随着点E沿着CD往左运动，点F可能会落在矩形ABCD的外部，即在AB的上方。

【正解】因为“点E是射线CD上的一个动点”，因此，需以动态的视角去分类讨论。如图6，画图过程中抓住轴对称的根本性质，即BF=BC，得到点F的运动轨迹是以点B为圆心、BC长为半径的圆。再画出AB的垂直平分线与圆的交点，有两个，分别是F1、F2，最后画∠CBF1的角平分线BE1与∠CBF2的角平分钱BE2，即折痕。具体解法与上面错解的解法类似，也是通过构造“K字形相似”，得=

图6

四、理解不透

例4如图7，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=18把△ABC绕着点C旋转，使点B与AB边上的点D重合，点A落在点E处，则线段AE的长为（ ）。

图7

【错解】根据旋转得到对应线段相等，计算得出AC=6，观察图形，选A。

【错因】错解的产生，一是缺少严密的逻辑推理，仅从直观感受得结果；二是没有充分地利用旋转的性质。

【正解】旋转时，旋转角相等这一性质运用广泛。本题中，两个旋转角∠BCD和∠ACE相等，同时由旋转可得BC=DC，AC=EC，由此可得△BCD∽△ACE。再过点C作BD的垂线，求出BD的长度，最后利用相似可求AE的长度。

正确答案：C。

平移、轴对称和旋转是几何中的三种基本变换，我们在解决图形变化的问题时，应当从这三种变换的定义和性质出发，研究变与不变。