寄与幂函数教学中的核心素养培养

陈新

摘 要：当下教育聚焦核心素养、教学要培养学生的核心素养。而核心素养的培养离不开学生对知识的认识探索过程，离不开数学研究的方法。每个数学概念的产生都有它的必要性与合理性，有些概念的产生还经历了一个漫长的过程，概念所隐含的性质更是不断发现总结的结果。本文就本人的一节幂函数公开课的教学谈几点感悟。

关键词：核心素养、幂函数、自主探究

一、问题背景设计，彰现概念产生的必要性

概念教学需让学生了解概念产生的必要性，让学生切身感悟到问题需要解决，知识需要延伸，进而激起学生的求知探新欲望，激发学生的兴趣，培养学生科学的研究精神。

幂函数的背景引入，我则采用学生熟悉的"教材p59页3.1节指数函数引入时列举的细胞分裂实例"，并将之作简单改编：

（1）某细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，……，想一想，若1个细胞分裂x次后，相应的细胞个数y为多少？

（2）某细胞分裂时，每一次分裂均由1个分裂成x个，共分裂2次，那么，细胞个数y为多少呢？

问题（1）的设计，让学生通过回顾认识到y=2x为指数函数，指数函数是幂关于指数的函数。而同样的细胞问题，改变问法的问题（2）结果变成了二次函数y=x2，虽仍为幂的形式，但自变量位置却在了底数位置，因而不再是指数函数，而是幂关于底数的函数。

师：事实上，类似的函数在生活中大量存在。请看问题：

（3）下列实际问题反映的是什么函数？

（1）张红购买了单价每千克1元的蔬菜x千克，她支付钱数y元，则y= ；

（2）正方体的边长为x，则正方体的体积y= ；

所举问题反映的函数为教学要求提出的常规的五个幂函数，背景简明，贴近学生生活。此问题学生经思考后易发现，所得函数y=x，y=x3，y=■，y=x-1都是幂关于底数为变量的函数，其中指数为常数。

二、概念命名猜测，展示命名的合理性

在近代数学史上，公元十六世纪之前，占统治地位的是常量数学，到十六世纪，随着欧洲过渡到新的资本主义生产方式，迫切需要天文知识和力学原理，数学也就从常量数学转变到变量数学。这个转折点主要是由法国数学家笛卡尔完成的，他在《几何学》一文中首先引入变量思想，引入两个变量之间的相依关系，到十七世纪中叶，微积分创始人之一德国数学家莱布尼兹最先使用了函数一词，他提到了变数x的幂，如x2、x-1。后来数学界逐步形成了幂函数之说。

根据教学实际情景插入数学史，不失时机地通过PPT介绍涉及的两位大数学家的平生，一方面解释了幂函数名称由来，另一方面从文化的高度，让学生欣赏数学，透过历史上函数和幂函数的形成过程，看到人类生生不息，为了奋斗的历史画卷，培养了学生的人文素养，数学情怀和研究精神。

三、概念定义探究，揭示概念的原属性

概念教学需让学生认识概念的深刻性。教学中通过概念背景，让学生自行归纳定义概念，挖掘概念的内涵和外延，能加深对概念的认识，达到对概念认识的深刻性。

通过教材得到幂函数定义：形如y=xα的函數叫做幂函数，x是自变量，α是常数。

并得到："只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常数时，才是幂函数."

在此基础上，让学生完成题：已知y=（m2+2m-2）xm-1+2n-4是幂函数，求实数m，n的值.

学生知识的生长与素养的提高基于原有的知识基础，和学生已清楚指数函数和对数函数定义，故可以通过类比与联想，让学生自己去定义幂函数。再通过去伪存真，揭示了幂函数的本质，同时加深了指数函数和对数函数定义的认识，明确了一类概念的定义形式，更有利于以后学生自己去探究新概念本质含义。

四、函数性质探究，凸现研究的方法性

函数性质发现，基于数形结合思想。可通过函数图象观察得出函数性质，再从代数角度进行验证。也可直接从代数角度入手研究。关键要明确研究哪些性质？把握了函数的性质特征，反过来能帮助我们快捷画出函数图象，有利于利用函数图象的直观性快捷解决其运用问题。因此函数图象与性质相互依存，相得益彰。继指数函数和对数函数之后的幂函数，其性质探究，更须在学生灵活掌握研究方法的基础上发现性质，探究性质。

学生通过讨论，可以得出诸如以下图象特征和性质等。

（1）所有的幂函数在第一象限都有图象，图象都过点（1，1）；

（2）图象不可能在第四象限.其中为偶函数时图象在第一二象限；为奇函数时图象在第一三象限；非奇非偶函数只有在第一象限；

（3）指数α>0时，幂函数图象过原点，在第一象限内为增函数图象，且α>1时增长陡翘，0<α<1时增长缓慢；α<0时，幂函数不过原点，在第一象限内为减函数图象。

让学生共同观察归纳幂函数的图象特征与性质，是个开放性，我自教师根据学生讨论结果，引导学生规范描述幂函数的图象特征和性质。并要求学生根据幂函数的图象特征和性质，快速画出函数y=x-2和y=的图象，说出其性质。

在与学生一起学习研究幂函数性质时，引导学生探究发现，共同讨论，再通过学生的理性思维、批判质疑，达到培养学生"发现与提出问题、分析与解决问题"的能力，让学生体会到探索、合作、发现的愉悦和成功的喜悦，同时让学生把握住一类问题的研究的方法，促进学生核心素养的发展。