大学数学教学中的数学文化价值研究

汪忠志,李文喜,丁芳清

(1.安徽工业大学 数理科学与工程学院，安徽 马鞍山 243002；2.合肥学院 数理系，安徽 合肥 230601)

一、数学文化的内涵

什么是数学文化？黄秦安认为，从系统的观点看，数学文化可以表述为以数学科学体系为核心，以数学的思想、精神、知识、方法、技术、理论等所辐射的相关文化领域为有机组成部分的一个具有强大精神与物质功能的动态系统，其基本要素是社会学及与之有关的各种文化对象(自然科学，人文、社会科学和广泛的社会生活)[1]。“数学文化的解释，也有狭义和广义之分。狭义的是指数学的思想、精神、方法、观点、语言以及它们的形成和发展；广义的解释是除这些之外，还包含数学史、数学美、数学教育、数学与人文的交叉、数学与各种文化的关系”[2]。

数学文化的内涵是指数学的思想、精神、方法、观点、语言等所包涵的人文的精神，以及数学史、数学美、数学教育、数学与人文交叉的总和，数学与其它文化的关系。数学，究其本质是一种文化，不仅闪烁着理性、智慧的光芒，更有艺术审美的享受以及厚重的文化意向。克莱因指出：“数学是形成现代文化的主要力量，也是这种文化极其重要的因素”。因此，数学文化教育价值的发掘应当是数学教育工作者的一项重要的任务，应通过数学教学对学生的世界观、价值观、审美观以及思维方式等产生积极的影响。但在目前的大学数学教学中，过分强调了数学的智育功能，更多将数学视为一个方法和工具，而没有深入发掘甚至是忽视了数学所蕴含的丰富的文化价值，学生在学习数学的过程中更多的体会是艰涩枯燥，这既不利于大学数学教学的开展，也不利于高素质人才的培养。因此，在大学数学教学中，加强数学文化的渗透是非常必要的，对数学教育工作者来说，关键是加强对教学内容中蕴含的文化价值的挖掘和理解，不但要将数学知识的工具价值展示出来，还要把它的文化价值挖掘出来；既要注意数学的知识形态，更要注意数学的文化形态。

二、构建基于数学文化的大学数学教学模式

大学数学教育不仅要重视数学的工具性价值，更要重视数学文化教育价值。近年来，随着大学数学的教学改革不断深入，教学模式也呈现出多元化形态，如有探究式教学模式、案例分析式模式、自主学习式模式、情境问题式教学模式等，这些教学模式主要局限于知识技能的传授，缺少对数学文化内涵的揭示，缺少对学生情感态度和数学素质的培养。而数学知识是数学文化的载体，数学知识和数学文化相辅相成，鉴于此，我们更新以往的教学模式，以数学意识、数学思想、数学精神和数学品质为培养目标，构建了基于数学文化的大学数学教学模式(见图1)。

三、大学数学教学中的数学文化价值发掘

数学知识是数学文化的载体，数学知识和数学文化相互补充、相互渗透、相互依托。基于数学文化的教学需要从多方面挖掘展示大学数学内容中所蕴含的数学文化内涵，并将其融入到数学教学中。

图1 基于数学文化的大学数学教学模式

(一)发掘数学文化的情境

李大潜院士在第一届全国数学论坛上指出：“数学的教学，不仅要使学生学到许多重要的数学概念、方法和结论，而且应该在传授数学知识的同时，使他们学会数学的思想方法，领会数学的精神实质，知道数学的来龙去脉，在数学文化的熏陶中茁壮成长。在教学实践中我们应结合教学课程，使学生了解到他们现在所学的那些看来枯燥无味但又似乎天经地义的概念、定理和公式，并不是无本之木、无水之源”，“而是有其现实的来源和背景”[3]。在大学数学的教学中有针对性地设置情境，利用趣味数学知识、数学史、数学家生平、经典小故事、数学逻辑图片或与其他学科关联的知识等丰富的数学文化，触动学生的生活中的数学经验，获取数学知识，激发学生的学习兴趣。

如在引入双曲面的概念时，首先给学生提供熟悉的广州电视塔(小蛮腰)，学生很是兴奋，一起观察发现广州塔外面是光滑的曲面，中间细两头宽，事实是每一根柱子是自上而下都是直的，所以广州塔是有一堆笔直的柱子斜搭起来的，通过这样的情境，激发学生的好奇心和学习的动力。再如，极限概念对刚进入大学的新生来说是个难点，又是一个重点。内容抽象，讨论的问题从有限进入无限，而学生在中学里接触的都是有限运算，对无限问题的思考方法感到难以理解。在教学过程中，如果我们先介绍数学史上著名的芝诺悖论“追龟说”：阿基里斯追乌龟，永远追不上。“追龟说”明显违背生活常识，是一个谬论，但古希腊人明知阿基里斯一定能追上乌龟，但是却无法说明错在何处，这就成为数学史上著名的难题，直到17世纪微积分学产生，这个问题才算基本解决。问题转化为由距离构成的数列1000，100，10，1，0.1，0.01，……中的项最终能否无限的接近于0。学习了极限的概念后，我们就可以给出这个难题的一个合理的解释。“追龟说”引发了学生的认知冲突，巧妙地激发了学生的学习兴趣。

(二)发掘数学文化中的数学美

数学具有强烈的艺术特征和美学特征。徐利治教授指出：“数学是人类文明的结晶，数学的结构、图形、布局和形式，无不体现出数学中美的因素”。数学中体现多种多样的形式美，统一美、简洁美、对称美、奇异美、和谐美等。在教学中，充分挖掘数学美的素材，展示数学美的内容和本质特征，揭示数学知识的内涵美，引导学生发现、欣赏数学美，使学生逐步地感受美、欣赏美、鉴别美，认识数学是一个五彩缤纷的美的世界，以美的规律和方法去获取科学文化知识，培养学生的审美意识，陶冶学生审美情感[4]。

英国著名的数学家阿蒂亚曾说：“经过半个世纪的急剧专业化发展，核心数学家在发现不同部分之间深层联系的基础上正经历一次重新统一的复兴。”从较早的笛卡尔将几何与代数统一于坐标系开始，数学一直在追求更高层次，更高阶段的统一，体现数学的这种深刻的统一之美。又如，在微积分中，用外微分形式可将Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式以及Stokes公式统一表示为

这个公式可以说是微积分的一个顶峰，它使得微积分从古典走向现代，是数学中少有的简洁、美丽而深刻的定理之一。因此，我们在讲解微积分时，可以有意引导学生体会微积分的伟大意义以及在处理问题时所体现的统一之美。

数学大师陈省身曾说:“Mathematics is for simplicity”(数学以简易为美)。简洁可以说是人类追求的一个基本目标，简洁美是美的一种基本表现形式，数学追求的正是以简洁的语言来描述科学事实。数学的简洁美是数学内容与其简化形式的完美统一，是人类“思维的经济化”在数学中的反映。数学的简洁美主要体现在数学用简洁的语言或公式表达一个复杂的事实，或者利用一些精巧的设计和构造来解决复杂的问题。例如我们熟知的符号：∞——无穷；∮——沿正方向闭路积分；∀——所有的 、任意的；∃—存在、至少有一个；P(A)事件概率等，当掌握了这些语言的时候，就会更加体会到数学的精炼、准确、简洁 、清晰，更了解数学之美。在大学数学教学过程中，我们应当不断优化命题结论和简化解决方法等，通过这些方式引导学生去体会数学的简洁美，使学生感到心灵上的满足和美的享受。

(三)发掘数学文化的理性精神

著名数学家、数学教育家克莱因说：“数学是一种精神，一种理性精神。正是这种精神激发、促进、鼓舞并驱使人类的思想得以运用到最完美的程度”。张乃达认为，数学理性精神的基本内涵，它首先表现为一种信念，表现为对真理的追求，其次，理性精神坚持以理想或以理性为基础的思维方法作为判断真假、是非的标准[5]。曹一鸣将理性精神阐述为：诚实、求是；严谨、朴实；勤奋、自强；理智、自律；开拓、创新[6]。数学理性内涵包含：客观性和理智性、精确性和确定性、思辨性与严谨性、实证性与逻辑性、批判性与开放性，以及对真善美的执着追求、对大自然永恒的探索和永远勇于创新的精神[7]。

在教学中发掘数学发展中的有关历史素材、数学家的生平与勇于探索、持之以恒勇于创新的精神，使学生认识到一切科学都是在成功与失败、认识与再认识的循环往复中发展起来的，科学上的每一次进步都是科学家持之以恒、刻苦钻研的结果，必须以严谨的态度、坚强的意志、拼搏的精神始终不渝地朝着既定方向努力，才能取得最后的成功，培养学生正确的世界观和人生观。例如在学习微积分第一节课，我们就给学生介绍微积分发展史，趣味小故事。如提出无穷小与无穷大的数学应用的德国红衣主教尼古拉斯-库萨居然是近视眼镜的发明者[8]；数学家开普勒从小观察到自家庄园里的葡萄酒桶，通过思考酒桶体积的计算方法，求出九十六种阿基里德未处理的体积公式，解决了大量有关极大极小问题；被苹果砸了脑袋的牛顿和博学多才的符号大师莱布尼茨双雄出世，两人的微积分发明权之争的“恩怨情仇”等。如何求体积面积、求曲线的切线、求瞬时速度和极大值极小值正是实际生活中面临的重要的问题，在两千五百年发展中，由大量的哲学家、科学家、数学家等共同努力，促进了微积分的诞生和发展。学生了解后，增加了学习微积分的兴趣和探究科学的欲望。又如在一元多项式的学习时，可以结合一元多项式的最大公因式介绍多元多项式的Grobner基理论，通过这个例子的介绍让学生了解到Grobner是如何发现多元多项式的表示及除法中的问题，Buchberger是如何结合Gauss算法和Euclid算法解决这一问题，创立了Grobner基理论[9]，并在现代计算机代数及编码等领域得到十分广泛的应用的。学生不仅能很好理解数学知识的来龙去脉，更能够体会到创新的魅力，领略到创新精神的精髓，激发学生的创新精神。再如在学习复数理论时，可以适时介绍Hamilton发现四元数的过程，如何将复数扩展到更高的维次。Hamilton对这一问题坚持了长达十五年的思考，最终在1843年的一次散步时，灵感突现，创立了四元数，并将此刻在了附近的布鲁桥上。通过此例，学生学到了科学家不畏艰辛、不怕失败的精神，敢于迎接挑战的勇气，以及能够承受挫折和战胜困难的顽强意志。

(四)发掘数学文化与其他科学的关系

美国著名数学家拉克斯说“在微积分里，学生可以直接体会到数学是确切表达科学思想的语言，可以直接学到科学是深远影响着数学发展的数学思想的源泉”。数学是科学理论的基础，广泛渗透于自然科学、社会科学、管理科学等各个学科，成为他们的工具和语言，数学的发展推动着整个科学的进步和发展，其他科学的发展对数学的发展有着广泛的影响。教学中发掘数学文化与其他科学的联系，使学生体会数学的科学价值、应用价值，激发学习兴趣。在当今大数据的时代，数学文化遍及所有的科技领域，渗透到社会的各个行业，也深入到我们的日常生活和工作中，正如姜伯驹院士所说：“数学已从幕后走到台前，直接为社会创造价值”。

四、几点思考

数学文化的发掘，并不是通常以具体数学知识的讲授为目标的课程所能替代，而且数学文化的内容非常丰富，不是一、两节课所能阐明。

(一)转变教学理念，提高教师自身数学素养

教师是数学文化的传播者，教师的教学理念决定了教学活动的质量，教师的数学素养水平决定了教学中渗透数学文化的程度。所以，教师转变理念是关键，提高素养水平是前提。教师应充分认识数学文化的重要意义，在教学中有意识、有目的、有步骤地将数学文化融入到教学中，将数学知识和数学文化有机结合。此外，教师不仅要具备数学专业知识，还要有数学史、数学美学、数学思维、数学方法、数学语言等数学素养。

(二)加强师生交流，总结反思开创创新源泉

师生交流能激发学生学习的主动性和学习兴趣，一改过去学生被动“学”教师无趣“教”的现状，在课堂上教师开设有关的专题，进行设问、引导，调动学生探讨数学文化的相关内容，也可以让学生相互之间交流，提升学习兴趣。引导学生总结回顾课堂内容，梳理数学知识，总结体会到的数学文化的精神、思想、方法以及数学文化的价值，为后期的学习开创创新源泉。

(三)借助多媒体资源，多角度传播数学文化

在现代技术迅猛发展的今天，多媒体成为辅助教学的有利工具，可以优化数学的教学，提供多角度多层次的教学方式。教师可利用多媒体资源介绍数学史和数学思想，生动形象展示数学文化的内涵，提高学生学生对数学文化的感悟力。

五、结语

发掘数学文化，将数学文化融入到大学数学的教学中，让学生们领略到数学文化的内涵，受到文化、思想、素质能力等方面的熏陶、教育和培养，提高其学习数学的兴趣和热情，以为学生的终身学习和可持续发展奠定良好的基础。