“以学为中心”的数学复习课模式研究

张向东

（湖南省沅江市教育研究室）

近年来，数学课堂教学改革强调“以学生学习为主体进行数学教学”（以下统称“以学为中心”），即在课堂教学中落实学生的主体地位，在学生原有知识与经验的基础上，充分发挥学生学习的能动性，通过学与教的和谐统一促进学生发展.改革虽存争议，但在当下对于发展学生核心素养（特别是自主性）上具有积极的意义.国内具有较高知名度的相关实验大多围绕新授课的模式展开研究.

数学复习课教学中，涉及的知识面广，对学生综合运用知识的能力要求较高.而基本学情是学生的认知基础参差不齐，知识应用不自如.为了完成教学任务，一些教师习惯于运用“教师讲解—例题示范—学生训练”的模式教学.这种接受式教学，难以调动学生复习的内驱力，易忽视学生的个体差异，侧重于对已有知识、方法的回忆和重复，弱化了知识的重新认识和结构体系的再建构、思想方法的再优化.

其实，复习课相对于新授课在实践“以学为中心”的教学理念中具有独特的优势.第一，学生对相关知识已经有了一定的认识，在学与教的先后顺序上，更便于实现“学生自主学习”与“教师必要指导”的相互渗透和相互促进；第二，学生在相关知识的学习上还存在缺陷，教学中可以给学生更多的学习机会，暴露学生的思维过程，让学生在自我觉醒、反省中提升认识与知识的运用水平；第三，学生之间对相关知识的学习水平存在一定的差异，利用差异开展合作学习，通过“兵教兵、兵帮兵”的模式，既能精准提升学困生的学习水平，也能促进优等生从会做到会讲，以会讲促会想，从而全面提升数学素养.

自2016年以来，笔者在推进“以学为中心”的教学改革中开展了“自主·深度”教学的实践研究，对于复习课的教学模式进行了反复试验与矫正，取得了一定的进展.

一、结构框架

在复习课中运用问题驱动式教学模式，按照“导（学）—温（故）—练（习）—晒（展示）—评（检测）”的程序引导学生主动发展、共同提高，基本结构如图1所示.

图1

在教学步伐方面，对于常规复习课的课前、课中、课后的安排，建议前置半拍.教师可要求学生在课前复习基础知识，以缩短“温”的时间，使“练”“晒”“评”等环节的教学更充分、效果更佳，减轻课后巩固训练的压力，为下节课的课前复习基础知识预留时间.这样处理的主要优点是：促使落后学生提早跟上，并让学生带着问题进入课堂，既提高了“温”的教学针对性，又突出了教学重点，即提高学生运用知识解决问题的能力.至于专题复习课，教学步伐无需前置，可通过“练”中的基础训练激活学生的相关知识与经验，完成“温”的教学.

在教学节奏方面，“练—晒”环节在课中将循环运用.在基础训练过后，再进行拓展提升的练习与展示，对拓展提升中的各题也可以让学生分别进行练习与展示.这样，学生就在解决问题的过程中通过多次反馈实现了逐步提升.

二、课例展示

下面以“二次函数的图象”（复习课）为例，对各教学环节进行说明.

1.课前准备

教师以知识提纲或问题提纲的形式编制复习热身卡，并要求学生在课前完成，帮助学生回归教材、梳理已学知识、深化认识.以下为本节课课前热身卡中的两个问题.

问题1：二次函数图象的平移.

抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的解析式用配方法可化为___________的形式，而抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)均可由抛物线y=ax2平移得到，具体平移方法如图2所示.

图2

平移变换前后的二次函数图象的形状相同，因此平移前后_______项系数不变.

【设计意图】问题1中，抓住学生对二次函数图象的平移与函数解析式的关联形式的相异构想，认识图象平移时顶点式中各项系数的变与不变，以及变化规律.

问题2：二次函数图象与x轴的位置关系.

当y= ___时，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0 )可转化为一元二次方程ax2+bx+c=0.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与______轴的交点的______坐标，反之亦对.

按要求填写下表.

根的判别_式的情况ax2+bx+c=0(a≠0) 实y=ax2+bx+c( )a≠0的图象与x轴的交点个数数根的个数方程有_______个b2-4ac＞0_____（填“相等”或“不____________相等”）的实数根x1，x2方程有_______个b2-4ac=0_____（填“相等”或“不b2-4ac＜0__相等”）的实数根x1，x2___________________________________________方程有_____个实数根_____________________

【设计意图】通过以上问题引导学生从二次函数与一元二次方程的内部结构的联系，深入认识一元二次方程的根是二次函数零点，进而认识b2-4ac的值的正负决定了二次函数图象与x轴的位置关系.

2.课堂教学

（1）导学.

“导”是开课时从教学目标、任务、内容等方面为学生的复习导航.教师可以通过谈话向学生介绍本节课的学习内容，并强调其地位与作用；也可以通过介绍《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）对该部分内容的要求，向学生指明学习目标；还可以针对学生学习中的模糊概念、相异构想或解题方法上的困惑提出具体的问题，让学生尝试求解，暴露在新课学习中的不足，从而激发复习需求，明确复习任务.

（2）温故.

“温”有三个层面：一是温故，即关注疑难点、易错点、易混点、易漏点，如问题1；二是知新，即在知识的关联处推陈出新，如问题2；三是成体系，即串起知识链，建构少而精、便于用的知识体系.

“温”的教学程序如下：

①学生在组内互查热身卡、互帮解决简单认知问题，并提出本组需要集体讨论或教师讲解的问题.

②教师展示一名或几名学生的热身卡的答题情况，其他学生纠错、补充、点评.

③针对各学习小组提出的问题，教师在优等生释疑的基础上进行指点并归纳概括.例如，对于问题1，在展示热身卡后，教师还可以利用几何画板软件演示，在学生再次直观感知二次函数图象平移规律后进行点拨，指出顶点的平移方向和距离反映了图象的整体平移规律，因此要利用二次函数的顶点式确定平移后的抛物线的解析式.

（3）练习.

“练”是运用知识解决问题.基础训练环节要紧扣《标准》要求，选择夯实基础的容易题，暴露知识学习的问题（如问题3）或积累解题经验（如问题4）.拓展训练环节着重训练学生对知识应用融会贯通，使学生学会用数学的思想方法解决实际问题（如问题5）.

问题3：将抛物线y=x2平移后得到抛物线y=x2+2x+3，下列平移方法正确的是（ ）.

（A）向左平移2个单位，再向上平移3个单位

（B）向右平移2个单位，再向上平移3个单位

（C）向左平移1个单位，再向上平移2个单位

（D）向右平移1个单位，再向上平移2个单位

问题4：二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图3所示，且关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个根为3，则另一个根为_______.

图3

图4

问题5：如图4，二次函数y=2x2+bx+8的图象与x轴只有一个交点.

（1）求b的值；

（2）若将原二次函数的图象平移，使其顶点为(m，-4m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线与直线y=x总有交点．

想一想：你能根据平移规律，写出平移后的二次函数的解析式吗？

【设计意图】选择典型问题是教学的关键，其中典型性反映在基于核心概念、原理、思想方法及知识关联上.以上三个问题不仅关注二次函数图象的特征（图象形状、对称性、函数零点等）、平移规律与系数的相关性，还关注图象法和数形结合思想.

在训练形式上，在基础训练中，学生独立求解，教师巡查答疑；在拓展训练中，教师因势利导，可以在学案中引导，也可以在学生对问题思而不透时给予点拨，让学生在训练中组内交流想法、独立求解.

（4）展示.

在“晒”的环节中，不仅“晒”解题答案，更要“晒”思维方法与过程，从而“晒”出学生在解决问题的过程中出现的典型错误与积累的解题经验，也“晒”出学生的情感体验.

在此过程中，教师给学生提供“晒”的机会，鼓励学生之间进行交流和辩论，纠正学生的错误认识，从而提升学生的思维水平.在问题3中，学生出错的原固是将二次函数图象的平移与一般式关联.在问题4中，有的学生从一元二次方程的角度，利用根的定义先求k的值，再解方程求出另一个根；有的学生利用根与系数的关系先求k的值，再求另一个根；而有的学生利用图象，根据抛物线的对称性确定其与x轴的另一个交点坐标为(- 1，0)，无需计算即可直接得到方程的另一个根.

教师要引导学生发现思维受阻的根由所在.问题5中，学生难以找到求m的取值范围的思路，其主要问题是没有将“形”的问题转换为“数”的问题，即平移后的抛物线与直线y=x总有交点，则由相应的解析式所得的方程组总有实数解，而所构建的方程组又可以转化为一元二次方程，从而利用一元二次方程的根的判别式求解.教师也要引导学生精益求精，寻找解决问题的最佳方案，要引导学生总结解决此类问题的通性、通法，如问题4的以形助数，问题5的以数助形，二者彰显了数形结合的价值智慧.

（5）检测.

“评”既是对当堂学习成果的检测，也是对本节课学习内容的延伸.在习题设置上要注重对本节课重、难点的不同角度的训练，前述复习课中未覆盖的相关知识和方法的训练，数量一般不超过5道（解答题不超过2道），时间不超过8分钟，对于学生程度差异较大的班级设为必做题与选做题.

在学生完成测试后，随机抽取不同程度学生的作业进行评价、点拨之后，其他学生自评、纠错.

三、教学策略

为了在复习课中践行“以学为中心”，通过师生之间的积极互动，促进全体学生共同发展，可以在教学中采取如下策略.

1.利用导学稿引导学生的学

从课前热身到课中训练，导学稿作用于课堂教学的全过程，其作用不只是呈现学习材料，为学生合作学习搭建平台，还以师生对话的形式实现学与教的融合，也能提高课堂教学的执行力和教学效率.

在呈现形式上，既可以用纸质印刷、黑板板书等传统媒介，也可以用电子白板等信息技术呈现.

2.通过“晒”改善教师的教

“晒”即展示、交流与点评.通过上述课例可知，在“练”之后有“晒”，宽泛地看，在“温”中聚焦学生的复习热身卡，在“评”中聚焦学生的检测单等教学活动，其实也是“晒”.

“晒”不只是检查学生的学习效果，还要通过学生的纠错、补充、优化等互动实现兵教兵，既丰富了“教”的形式，又使教师的“教”更有针对性和指导性.

“晒”的形式多样，如学生板书表述、口述、视频呈现等.在“晒”的内容上，视学情而定，围绕学生对知识理解不透彻、不全面、不深入的问题，以及解题中出现的原理性错误、书写不规范欠严谨等进行展示与质疑，还要针对解决问题方案的多样化进行展示与比较，优化思维.

3.通过捆绑评价促进学生共同发展

课堂评价既包括课堂结尾的“评”，即针对学生学习目标的达成与提高程度进行结果评估，又包括在教学中针对学生的课堂学习状态进行过程评价.

在评价方式上，侧重捆绑评价，即将学生归属在学习小组中，针对小组的学习过程和学习成果进行整体评价，并结合评价结果进行课堂总结.捆绑评价可促使学生通过组内合作和组间竞争发挥个人潜能，增强合作意识，实现集体进步和个人发展的辩证统一.

探索教学模式的目的是让教师有“法”可依，用“法”自如；而教学有法，但无定法，教学有“模”，更无定“模”，灵活用“模”是根本.