浅谈统计决策方法在数学建模中的应用

朱慧　贾云涛

摘要：本文主要讨论了在数学建模中解决一些经济决策类问题所需的几种统计决策方法，给出了算法步骤，和适用条件。最后进行了案例分析，根据不同的决策结果对决策方法做了总结。

关键词：统计决策;数学建模;损益值

中图分类号：O224

文献识别码：A

文章编号：1001-828X（2019）010-0459-01

一、引言

数学是一门重要的基础学科，应用数学去解决实际问题，建立数学模型是最关键的一步。数学建模在不同领域的研究和发展中日益彰显出其重要性，是现代科技工作者必备的能力之一。数学建模面临的问题是纷繁复杂的，建模的方法也各不相同。在经济现象和经济活动中，经常遇到对未来的现象和规律进行分析预测的问题，对于预测者来说，预测的最终目的是要从各种预测的结果和方案中做出最优选择，这就涉及到决策问题。在经济领域的决策问题中，统计决策方法是必不可少的工具，也是数学建模学习中需要掌握的基础内容之一。下文将对几种统计决策方法进行分析和讨论。二、统计决策方法

1.风险型决策方法

在建模时，如果涉及到最优方案的选择，每种方案相关条件是不确定的，要结合概率来做判断，这就属于风险型决策。做决策时，抉择的标准有很多，损益的最大期望值就是其中之一。该方法通过计算各个可行方案的期望损益值，选择其中期望收益最大的或期望损失最小的方案作为最优方案。

计算的过程可以在损益表中进行，也可以用决策树方法。在决策树中，用矩形方框代表决策点，表示该处需要做出方案选择;从矩形引出若干条直线，表示各种备选方案，称为方案枝;在直线末端画一圆圈代表机会点;从机会点引出若干直线代表自然状态，分别标上概率，称为概率枝。在概率枝的末端标上该条件下的损益值，最终得到整个树形图。通过从右往左，比较每个方案枝的损益值，选出最大值对应的方案。决策树方法，所用到的数学工具简单，并且可以直观的把讨论的问题的所有信息展示出来，方便决策者整体把握。尤其是对于面临的方案、状态较多，并且行动方案带有阶段性，不同阶段的不同狀态有着相互影响的时候，更适合用决策树的方法。

在该方法中，选择方案所依赖的一个重要信息就是各自然状态出现的概率，也叫先验概率。概率如果出现一些偏差有可能引起决策结果的改变。决策时，先验概率可以根据历史数据或经验得到，具有一定的主观性。为了降低风险，也可根据调查数据，搜集补充资料，进行修正，利用贝叶斯定理计算后验概率，利用后验概率进行期望损益值计算，选择方案。

2.不确定型决策方法

如果对于自然状态的概率完全不确定，则可使用不确定型决策方法，一般有“乐观决策法”，“悲观决策法”，“α系数决策法”，

“等概率决策法”等。其中，等概率决策表示取各自然状态概率相等，与决策树方法类似。“乐观决策法”是在每个方案的最大损益值中挑选最大值对应的那个方案。“悲观决策法”是在每个方案的最小损益值中挑选最大值对应的方案。“α系数决策方法”则是对上述两种方法的折衷选择。同一问题，采取的方法不同，有可能会得到不同的方案。比较来看，“乐观决策法”适合对未来发展形势乐观，对市场有信心的决策者;“悲观决策法”则适合承担风险能力小，比较保守，缺乏信心的企业决策者;“α系数决策方法”则是体现了决策者对未来发展形势的中立看法。

三、案例分析

例1：某公司打算扩大生产规模，有三个行动方案d1，d2，d3，两个自然状态θ1，θ2，d1，d2，d3在状态θ1下损益值（万元）分别为8，-1，3;在状态θ2下的损益值分别为-3，6，4;该选择哪个方案最佳？

首先，如果知道每个自然状态的概率，假设P（θ1）=0.8，P（θ2）=0.2，那么可以用以期望值为标准的风险型决策方法，为直观，我们用决策树来体现决策问题的整体局面。

在决策点1处，方案d1期望损益最大，选择方案d1作为最终的行动方案。

如果自然状态的概率未知，则可选择不确定型决策方法。例如等概率决策方法，假设每种状态的概率相同P（θ1）=0.5，P（θ2）=0.5，则可得各方案的期望收益为E（d1）=2.5，E（d2）=2.5，E（d3）=3.5，此时将选择d3作为最优方案。

此外，若不使用自然状态概率，则也可根据决策者的对市场的预期和主观判断来决策方法。比如决策者比较保守求稳，认为形势不乐观，用“悲观决策法”。可以比较出每个方案的最低收益分别为-3，-1，3，最低收益中最大值为3，所以方案d3为最优方案。

四、结语

从上述案例中，我们可以看出选择的方案会随着决策方法的不同而改变。在同一个问题中，很难用理论证明哪种方法更好。所以在建模过程中，决策者需要对历史数据，对市场的客观情况有充分的分析，在合理的假设下选择合适的决策方法进行分析，并且可以对不同决策方法所得的结果进行对比验证，进而取得最佳决策方案。

参考文献：

[1]徐国祥.统计预测与决策[M].上海：上海财经大学出版社，2015（7）.

[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2009（11）.

[3]朱建平，靳刘蕊.经济预测与决策[M].厦门：厦门大学出版社，2017（8）.