优化“想得到方法”，养育学生精细的推理习惯

徐明海

[摘  要] 对于一道数列不等式证明，从几个“漂亮”的证明入手——“精美”的放缩、裂项，发现细节上的错误，导致证明失败，各类现象引起教师的关注与思考，探究成因，促使教师引导学生养成精细的推理习惯而采取有效教学策略.

[关键词] 推理习惯;放缩技巧;裂项技巧;关注细节

数列不等式是高考数学命题中最常见的一类题目，遇到此类题目，人们要想方设法，用各种放缩技巧来实现目标，比如，用一个规范的数列（等差数列或等比数列等）来做比较，进行放大或缩小;用裂项法放大或缩小;用一些常见的公式进行放缩等.然而，这些方法要用准对象，精准施策才是有效的，否则就会看似漂亮，实质错误.

以上放大技术含量很大，不仅学生想不到，可能大多数老师也未曾想到.

为什么不用下列简单证明呢？

此证明有两个特点：

一是得到一个好结论：就是把“”进一步缩小到“”;

二是“”比标准答案中的数（大约为1.785879）还要小一点.

此题作为一次模拟考试的最后一题，从435份答题卡上信息，只有3位同学做对，问题出在哪儿？

（1）纵观学生的答题卡，有许多学生想到的方法很好，但总会出现或这样或那样的错误，比如中间过程的一个小的误判，一个数字计算或估算錯误，这说明学生精细化思考不足. 长此以往，这是一个非常可怕的事情，将这样的习惯用在任何一项工作中都会带来不可估量的损失.

（2）严格的、严密的逻辑推理不足，漏洞百出，想当然的较多，比如“”的跳出，强迫给定的数列求和可以放大到一个等比数列的求和.

（3）试图用数学归纳法证明，但会出现如下问题：一是叙述不规范;二是证明到n=k+1时，无法严格推理和叙述下去.

（4）从上述分析可知，此题如果变成下列形式，可能有助于学生的数学思维的训练与检测.