从除以2看如何有效提高几何计算教学效果—以《三角形的面积计算》教学为例

姜文敏

（江苏省南京市生态科技岛小学，江苏南京 210019）

引 言

《数学新课程标准》提出了四项基本技能：基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。其对于几何图形的学习目标为经历图形的抽象、分类、性质探究、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能[1]。由此可以看出，在几何图形的计算教学中，教师一定要让学生形成自己的学习经验，使其通过自主探究活动获得真知，从而提升教学效果。

一、引导大胆猜想，获得初始的感性认识

任何伟大的定理都是从猜想开始的。由于新知识学生没有接触过，但不代表学生一无所知。这时，让学生根据自己的已有知识，结合自己的理解进行大胆的猜想，是学生迈向知识殿堂的第一步。

教学片段一：

师：平行四边形的面积怎样计算？

生：平行四边形的面积=底×高。

师：那么，等底等高三角形的面积如何计算呢？大家大胆猜测一下。

生：底×高。

师：大家比一比三角形的面积和平行四边形面积的大小，三角形的面积能和平行四边形一样进行计算吗？

生：底×高÷2。

师：底乘高算的是什么？为什么刚好要÷2？这正是这节课需要大家通过自己的实践去探索的问题。

学生通过大胆的猜测，从感性上和真知拉近了距离，同时也为后面的实践操作指明了方向。

二、经历操作过程，形成完整的学习经验

著名数学教育家弗莱登塔尔认为，应将数学作为一种活动来进行解释和分析，建立在这一基础上的教学方法，称为再创造方法。教师要让学生经历三角形面积的推导过程，还原面积推导的原始操作，这样的过程也就是弗莱登塔尔认为的再创造过程。

教学片段二：

师：大家都会计算平行四边形的面积了吧？虽然三角形的面积我们还不会算，但我们每人手里都有8个三角形，你能把它们变换成我们会计算面积的图形吗？分小组尝试一下。（在8个三角形中，有3对是完全一样的三角形，分别是锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。还有2个是干扰图形，和上面三组的三角形有点像，但又不完全一样。这样设计的目的是让学生明白，只有完全一样的三角形才能拼成平行四边形。）

学生开始动手拼平行四边形，基本上都能用完全一样的两个三角形拼出一个平行四边形。个别小组把干扰的平行四边形通过剪的方式拼成了平行四边形。学生通过自己的动手实践操作，用两个完全一样的三角形拼出了平行四边形，这样获得的感性认识特别深刻。同时，干扰图形的出现也让学生加深了对“两个完全一样的三角形”这样的前提条件的认识。

三、分析归纳推理，探索面积计算真谛

生：底和高。

美国教育家布鲁纳指出，数学某些领域的知识，不是让学生去铭记已有的结果，而是要教其如何参与知识的获取过程。通过上面的案例可以看出，三角形面积计算的方法是学生通过自己主动参与学习，在教师的引导下一步一步获得的。这样的学习成果学生理解得透彻，掌握得扎实，在以后的学习中也能熟练运用，做到不犯或少犯错误。

四、由具象到抽象，几何计算心中有图

学生学习几何知识的过程，就是要充分经历探索、观察、操作以及思考、分析、推理的过程，取得丰富的感性经验，然后从实践材料中得出需要的知识。

教学片段三：

师：请在表1中把三角形和组成的平行四边形的条件都填写进去。

表1 三角形拼成的平行四边形

学生动手填写，前三个是由两个三角形拼成的，很好填写。最后两个是由一个三角形拼成的平行四边形。（因为课堂时间的关系，最后两个由独立三角形拼成的平行四边形，本节课暂不处理，不要求人人都能填写出来。）

师：你是怎样填写的？为什么三角形的高是5厘米，平行四边形的高也是5厘米。平行四边形的底是6厘米，三角形的底也是6厘米。（突出是两个完全一样的三角形拼成的平行四边形。）

师：三角形的面积为什么是平行四边形面积的一半呢？对于这个问题，教师可以多追问几个同学，直到学生能顺利答出：“两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半”为止。

师：小组讨论，比较三角形和平行四边形，你发现了什么？

生：三角形的底相当于平行四边形的底，三角形的高相当于平行四边形的高，三角形的面积是平行四边形面积的一半。

师：由此，我们可以怎样计算三角形的面积呢？

生：三角形的面积=底×高÷2。

师：底乘高计算的是什么？为什么要÷2？（多问几个学生。）

生：“底×高”算的是两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积，“÷2”是因为两个完全一样的三角形可以拼成平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，所以要÷2。（这里的推理要考虑到学生的实际情况，教师可以通过设问的方式引导学生进行推理。对于三角形的面积计算公式，教师一定要进行反复追问，使学生明确底×高求的是什么，为什么要÷2，这对学生理解和掌握三角形的面积计算方法很重要。）

师：计算三角形的面积只要知道什么条件即可？

学生空间观念的形成正如范希尔夫妇所提出的，以描述为主。同时，也正向着理论的层面过渡。学生依据经验能够确立图形的性质并使用这些性质来解决问题，同时也可以初步利用演绎推理证明几何关系。

通过仔细研究学生在计算三角形面积时忘记÷2的情况，为了避免此类问题的发生，笔者认为要做到以下两点：

第一，心中有图。学生在看到题目时，脑海中就会浮现出三角形的形象。这正如武侠小说里所说的剑客的三个层次。第一层次：手中有剑，心中有剑；第二层次：手中无剑，心中有剑；第三层次：手中无剑，心中无剑。真正的高手正是能做到手中无图，心中无图。

第二，逆向练习，加深认识。如“已知三角形的面积是20平方厘米，底是5厘米，高是多少厘米？”通过这种题目的练习，特别是学生在列出算式20×2÷5时，教师一定要反复追问学生：“20×2求的是什么？为什么要先×2？”

五、变化形象万千，推演图形计算的真知

我们在出示三角形时，一般都是标准的锐角三角形。在练习中，多数出现的也是这类看起来比较舒服的三角形。这样长时间的潜移默化，会让学生形成三角形就是这样的感性认识，不利于学生对三角形计算方法的全面掌握。“题有千变，贵在有根”，这是我国著名数学家陈景润先生在谈起数学解题时对其学生说过的一句名言。因此，教师在进行三角形面积的计算时，就应该以三角形的面积计算为根，推演出多种变式类型，让学生在复杂的选项中选出正确的解题方法[2]。

结 语

三角形的面积推导过程实际上是在学生进行操作以后，根据自己得到的数据进行观察、比较、分析、推理的过程。其中，教师是参与者、引路人，千万不能成为知识的灌输者。因此，教师应积极设计教学情境，利用合理的问题引导学生逐步形成对知识的深刻认识。