凸显“转化”思想 促进智慧生长

汤利萍

（江苏省南通市海门市三厂小学，江苏南通 226121）

引 言

学习数学离不开解题，解题的方式可以从一定程度上暴露学习水平。但为什么很多学生做了那么多的题目，还是无法提高解题能力呢？这是一个值得数学教师深思的问题。著名数学家波利亚曾经从宏观到微观，对解题过程、解题思维进行了系统而又全面的论述。他认为相较于具体的解题思路、策略，解题中的数学思想更加重要。数学思想是学生解题的灵魂，它犹如一双“看不见的手”，始终牵引着学生。因此，研究解题思想无论对于教师的教，还是对于学生的学，都具有无可比拟的效用。作为一名小学数学教师，应通过研究解题思路、策略，帮助学生掌握解题方法后面蕴含的数学思想，点亮课堂的智慧之灯。

一、数形转化，化“抽象“为“直观”

著名数学教育家华罗庚说过，“数形结合百般好，割裂分家万事休”。数（数与代数）与形（图形与几何），是小学数学两大最为重要的板块。在解题中，教师要引导学生联系数与形，以数析形、以解释数，从而让数与形完美结合[1]。

例如，在教学《解决问题的策略》（苏教版五下）时，教材中有这样一道习题：观察每幅图中圆的排列规律，并填空。1=1×1 1+3=4=2×2 1+3+5=9=3×( ) 1+3+5+7=16=( )×( )并且在每个算式前配上了图形（图形略）。在一个班进行教学时，笔者按照教材的编写，按部就班地展开教学。结果发现，学生对教材意图并不“领情”，他们不理解转化思想，体会不到转化的作用，对转化的思想没有形成认同，认为不转化反而简便一些。为此，笔者在另一个班教学时，将题目进行了巧妙的“变脸”。

直接出示“1+3+5+……+99”，开始大部分学生不知所措，几个思维活跃的学生开始借助等差数列进行求和，但也是不得要领。显然，学生没有意识到这道题可运用数形转化的思想。当学生处于“心求通而未得”的愤悱状态时，笔者画出了教材中的示意图（如图1、图2、图3）启发学生。

图1

图2

图3

当笔者画到第三幅图（图3）时，学生恍然大悟，纷纷拿起自己的笔开始构图。他们不仅“以小见大”，发现了算式中隐藏着的规律，探寻到解决问题的策略，而且更为重要的是，其通过数形结合探究，领略到了数学的神奇，感受到数学具有的一种内在和谐之美。

“数是形的抽象概括，形是数的直观表现。”“数与形”之间的转化，是小学高学段数学普遍运用的一种转化方法，是转化思想在数学中最生动的表现。通过“数形转化”，不仅能让学生认识到“数的意义”，更能让学生理解“形的精微”。

二、动静转化，化“复杂”为“简单”

数学问题，概括而言即为两类问题：一类是静态的数学问题；另一类是动态的数学问题。在数学教学中，动静是相互转化的。动静转化，能化复杂为简单、化未知为已知。只有将问题转化成我们所熟悉、已知的条件，问题才能迎刃而解。有时，静态的问题要进行适当的动态化才能解决；有时，动态的问题需要适当的静态化方能攻克。只有在动与静之间实行转化，才能凸显问题的本质，从而辩证、灵动地解决问题[2]。

比如，在教学《平面图形的面积》（苏教版五上）时，遇到了这样一道习题：求图4中“甲三角形的面积”比“乙三角形的面积”大多少平方厘米?

图4

许多学生初看到问题时，往往会做静态地分析，即学生会想方设法地直接求出甲、乙三角形的面积，然后求出面积差，这是一种常态的分析。这种分析会将问题带入越来越复杂的境地，从而走入“死胡同”。教学中，笔者是这样启发学生进行转化的：甲、乙、丙三个三角形是怎样的三角形？（一般三角形）我们所要解决的问题是哪两个三角形的面积差？（甲、乙两个三角形的面积差）丙这个三角形和甲、乙两个三角形有着怎样的关系？通过这样的点拨，触发了学生的数学直觉，让静态的问题动态化。学生发现，甲、丙两个三角形组成了一个直角三角形，乙、丙两个三角形也组成了一个直角三角形，而这两个直角三角形都可以通过已知条件求出面积。据此，学生豁然开朗：要求甲、乙两个三角形的面积差，也就是要求甲、丙两个三角形与乙、丙两个三角形的面积差。将静态的问题转化成动态的问题，问题很快得到解决。

动静转化能化繁为简、化难为易、化零为整。在数学教学中，它是一把解决数学问题的钥匙，常常能让学生以具化的数学问题显出它的本质，露出它的“庐山真面目”。在数学教学中，教师就要善于运用动静转化思想，打破学生的思维桎梏、思维习惯，从而提高学生思维的灵通性。

三、显隐转化，化“陌生”为“熟悉”

在数学教学中，许多学生对题目的思考往往浮于文字表面，不能洞察题目深层的数学本质，结果导致解题时捉襟见肘，甚至举步维艰。作为教师，要善于引导学生深入地解读题目，并积极地展开联想。只有这样，才能将题目中隐含的数学本质发掘出来。如果学生对题目的解读浮光掠影、蜻蜓点水，那么他们对题目的理解就有可能一知半解、一团雾水，从而影响题目的正确解答。作为一种具有普遍意义的思想方法，转化在数学学习中具有十分重要的地位。

比如，在教学《梯形的面积》（苏教版五上）时，学生遇到了这样一道习题：一堆钢管，最上面一层有5根，最下面一层有15根，一共11层。这堆钢管一共有多少根？学生乍一看，纷纷列式：5+6+7+……+15。部分学生直接动笔计算，部分学习过奥数的学生开始用等差数列求和。在学生运用各种方法计算后，笔者启发学生：这堆钢管堆放成的是什么形状？一语惊醒梦中人，大部分学生恍然大悟。如果将最上面一层的钢管看成是梯形的上底，最下面一层的钢管看成是梯形的下底，层数看成是梯形的高，那么求这堆钢管一共有多少根不就是求梯形的面积吗？于是，看似具有代数性质的问题，被转化成了图形的面积计算问题，而这正是问题的数学本质。数量关系与空间形式是小学数学的两翼，这两翼在数学中的边界有时是互通的。换言之，数学中的数与形，不是泾渭分明的，而是你中有我，我中有你的交融关系。作为教师，要善于引导学生将隐性的数学本质显性化，从而帮助学生解决问题。

结 语

授人以鱼，不如授人以渔。数形转化、动静转化、显隐转化是基本的数学方法，当前高年级的数学教学开始着重于拓展、实践和应用，这为拓展学生思维、培养转化思想提供了巨大的实践空间。一切数学问题的解决过程都可以看作是一种转化。只是有时候可以“单刀直入”，有时候却需要“另辟蹊径”。只有经过了“山重水复疑无路”的思维困厄，学生才能领略到问题得以解决时“柳暗花明又一村”的豁然开朗。